Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30037 / 41844
↖ ↑ ↗
← S 44.543505°
W 15.001831°		 ← 435.36 m → S 44.543505°
W 14.996338°		 →
↑
435.27 m
↓
↑
435.27 m
↓
S 44.547420°
W 15.001831°		 ← 435.34 m →
189 493 m²		 S 44.547420°
W 14.996338°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30037 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41844 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.458335876464844 y=0.638496398925781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.458335876464844 × 216)
    floor (0.458335876464844 × 65536)
    floor (30037.5)     		tx = 30037
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.638496398925781 × 216)
    floor (0.638496398925781 × 65536)
    floor (41844.5)     		ty = 41844
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30037 / 41844 ti = "16/30037/41844"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30037/41844.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30037 ÷ 216
    30037 ÷ 65536     		x = 0.458328247070312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41844 ÷ 216
    41844 ÷ 65536     		y = 0.63848876953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.458328247070312 × 2 - 1) × π
    -0.083343505859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.26183135
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.63848876953125 × 2 - 1) × π
    -0.2769775390625 × 3.1415926535     		Φ = -0.870150601903259
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.26183135} λ = -0.26183135}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.870150601903259))-π/2
    2×atan(0.418888459097816)-π/2
    2×0.39668275023144-π/2
    0.793365500462881-1.57079632675     		φ = -0.77743083
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.26183135} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.001831°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.77743083 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -44.543505°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30037 KachelY 41844 -0.26183135 -0.77743083 -15.001831 -44.543505
    Oben rechts KachelX + 1 30038 KachelY 41844 -0.26173547 -0.77743083 -14.996338 -44.543505
    Unten links KachelX 30037 KachelY + 1 41845 -0.26183135 -0.77749915 -15.001831 -44.547420
    Unten rechts KachelX + 1 30038 KachelY + 1 41845 -0.26173547 -0.77749915 -14.996338 -44.547420
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.77743083--0.77749915) × R
    6.83200000000106e-05 × 6371000     		dl = 435.266720000067m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.77743083--0.77749915) × R
    6.83200000000106e-05 × 6371000     		dr = 435.266720000067m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.26183135--0.26173547) × cos(-0.77743083) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.712718034171067 × 6371000     		do = 435.364865996053m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.26183135--0.26173547) × cos(-0.77749915) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.712670109399864 × 6371000     		du = 435.335591078635m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.77743083)-sin(-0.77749915))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.712718034171067-0.712670109399864)×R²
    abs(-0.26173547--0.26183135)×4.79247712029673e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.79247712029673e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.79247712029673e-05×40589641000000     		ar = 189493.466100353m²