Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 30037 / 29815
↖ ↑ ↗
← S 81.293366°
E149.996338°		 ← 184.93 m → S 81.293366°
E150.007324°		 →
↑
184.89 m
↓
↑
184.89 m
↓
S 81.295029°
E149.996338°		 ← 184.89 m →
34 187 m²		 S 81.295029°
E150.007324°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30037 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29815 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.916671752929688 y=0.909896850585938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.916671752929688 × 215)
    floor (0.916671752929688 × 32768)
    floor (30037.5)     		tx = 30037
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.909896850585938 × 215)
    floor (0.909896850585938 × 32768)
    floor (29815.5)     		ty = 29815
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 30037 / 29815 ti = "15/30037/29815"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/30037/29815.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30037 ÷ 215
    30037 ÷ 32768     		x = 0.916656494140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29815 ÷ 215
    29815 ÷ 32768     		y = 0.909881591796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.916656494140625 × 2 - 1) × π
    0.83331298828125 × 3.1415926535     		Λ = 2.61792996
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.909881591796875 × 2 - 1) × π
    -0.81976318359375 × 3.1415926535     		Φ = -2.5753619951879
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.61792996} λ = 2.61792996}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.5753619951879))-π/2
    2×atan(0.0761262604702334)-π/2
    2×0.0759797138684747-π/2
    0.151959427736949-1.57079632675     		φ = -1.41883690
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.61792996} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 149.996338°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41883690 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.293366°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30037 KachelY 29815 2.61792996 -1.41883690 149.996338 -81.293366
    Oben rechts KachelX + 1 30038 KachelY 29815 2.61812171 -1.41883690 150.007324 -81.293366
    Unten links KachelX 30037 KachelY + 1 29816 2.61792996 -1.41886592 149.996338 -81.295029
    Unten rechts KachelX + 1 30038 KachelY + 1 29816 2.61812171 -1.41886592 150.007324 -81.295029
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41883690--1.41886592) × R
    2.90199999999352e-05 × 6371000     		dl = 184.886419999587m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41883690--1.41886592) × R
    2.90199999999352e-05 × 6371000     		dr = 184.886419999587m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.61792996-2.61812171) × cos(-1.41883690) × R
    0.000191749999999935 × 0.151375268905177 × 6371000     		do = 184.925969973806m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.61792996-2.61812171) × cos(-1.41886592) × R
    0.000191749999999935 × 0.151346583257271 × 6371000     		du = 184.890926460413m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41883690)-sin(-1.41886592))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.151375268905177-0.151346583257271)×R²
    abs(2.61812171-2.61792996)×2.8685647905119e-05×R²
    0.000191749999999935×2.8685647905119e-05×6371000²
    0.000191749999999935×2.8685647905119e-05×40589641000000     		ar = 34187.061020615m²