Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30035 / 41302
↖ ↑ ↗
← S 42.382894°
W 15.012817°		 ← 451.16 m → S 42.382894°
W 15.007324°		 →
↑
451.13 m
↓
↑
451.13 m
↓
S 42.386951°
W 15.012817°		 ← 451.13 m →
203 527 m²		 S 42.386951°
W 15.007324°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30035 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41302 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.458305358886719 y=0.630226135253906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.458305358886719 × 216)
    floor (0.458305358886719 × 65536)
    floor (30035.5)     		tx = 30035
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.630226135253906 × 216)
    floor (0.630226135253906 × 65536)
    floor (41302.5)     		ty = 41302
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30035 / 41302 ti = "16/30035/41302"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30035/41302.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30035 ÷ 216
    30035 ÷ 65536     		x = 0.458297729492188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41302 ÷ 216
    41302 ÷ 65536     		y = 0.630218505859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.458297729492188 × 2 - 1) × π
    -0.083404541015625 × 3.1415926535     		Λ = -0.26202309
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.630218505859375 × 2 - 1) × π
    -0.26043701171875 × 3.1415926535     		Φ = -0.818187002715118
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.26202309} λ = -0.26202309}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.818187002715118))-π/2
    2×atan(0.441230880177863)-π/2
    2×0.415537639910312-π/2
    0.831075279820624-1.57079632675     		φ = -0.73972105
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.26202309} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.012817°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.73972105 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -42.382894°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30035 KachelY 41302 -0.26202309 -0.73972105 -15.012817 -42.382894
    Oben rechts KachelX + 1 30036 KachelY 41302 -0.26192722 -0.73972105 -15.007324 -42.382894
    Unten links KachelX 30035 KachelY + 1 41303 -0.26202309 -0.73979186 -15.012817 -42.386951
    Unten rechts KachelX + 1 30036 KachelY + 1 41303 -0.26192722 -0.73979186 -15.007324 -42.386951
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.73972105--0.73979186) × R
    7.08099999999767e-05 × 6371000     		dl = 451.130509999852m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.73972105--0.73979186) × R
    7.08099999999767e-05 × 6371000     		dr = 451.130509999852m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.26202309--0.26192722) × cos(-0.73972105) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.738656622608833 × 6371000     		do = 451.162431318971m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.26202309--0.26192722) × cos(-0.73979186) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.738608889018438 × 6371000     		du = 451.133276225739m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.73972105)-sin(-0.73979186))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.738656622608833-0.738608889018438)×R²
    abs(-0.26192722--0.26202309)×4.77335903950049e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.77335903950049e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.77335903950049e-05×40589641000000     		ar = 203526.561442551m²