Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 30035 / 29976
↖ ↑ ↗
← S 81.557073°
E149.974365°		 ← 179.36 m → S 81.557073°
E149.985351°		 →
↑
179.34 m
↓
↑
179.34 m
↓
S 81.558686°
E149.974365°		 ← 179.32 m →
32 163 m²		 S 81.558686°
E149.985351°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30035 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29976 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.916610717773438 y=0.914810180664062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.916610717773438 × 215)
    floor (0.916610717773438 × 32768)
    floor (30035.5)     		tx = 30035
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.914810180664062 × 215)
    floor (0.914810180664062 × 32768)
    floor (29976.5)     		ty = 29976
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 30035 / 29976 ti = "15/30035/29976"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/30035/29976.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30035 ÷ 215
    30035 ÷ 32768     		x = 0.916595458984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29976 ÷ 215
    29976 ÷ 32768     		y = 0.914794921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.916595458984375 × 2 - 1) × π
    0.83319091796875 × 3.1415926535     		Λ = 2.61754647
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.914794921875 × 2 - 1) × π
    -0.82958984375 × 3.1415926535     		Φ = -2.60623335854321
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.61754647} λ = 2.61754647}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.60623335854321))-π/2
    2×atan(0.0738120443185607)-π/2
    2×0.0736784327808579-π/2
    0.147356865561716-1.57079632675     		φ = -1.42343946
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.61754647} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 149.974365°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.42343946 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.557073°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30035 KachelY 29976 2.61754647 -1.42343946 149.974365 -81.557073
    Oben rechts KachelX + 1 30036 KachelY 29976 2.61773821 -1.42343946 149.985351 -81.557073
    Unten links KachelX 30035 KachelY + 1 29977 2.61754647 -1.42346761 149.974365 -81.558686
    Unten rechts KachelX + 1 30036 KachelY + 1 29977 2.61773821 -1.42346761 149.985351 -81.558686
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.42343946--1.42346761) × R
    2.81500000001156e-05 × 6371000     		dl = 179.343650000736m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.42343946--1.42346761) × R
    2.81500000001156e-05 × 6371000     		dr = 179.343650000736m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.61754647-2.61773821) × cos(-1.42343946) × R
    0.000191739999999996 × 0.146824159849722 × 6371000     		do = 179.356802353467m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.61754647-2.61773821) × cos(-1.42346761) × R
    0.000191739999999996 × 0.146796314864123 × 6371000     		du = 179.322787600147m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.42343946)-sin(-1.42346761))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.146824159849722-0.146796314864123)×R²
    abs(2.61773821-2.61754647)×2.78449855995178e-05×R²
    0.000191739999999996×2.78449855995178e-05×6371000²
    0.000191739999999996×2.78449855995178e-05×40589641000000     		ar = 32163.4534236855m²