Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 30033 / 29978
↖ ↑ ↗
← S 81.560299°
E149.952392°		 ← 179.30 m → S 81.560299°
E149.963379°		 →
↑
179.28 m
↓
↑
179.28 m
↓
S 81.561912°
E149.952392°		 ← 179.26 m →
32 142 m²		 S 81.561912°
E149.963379°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30033 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29978 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.916549682617188 y=0.914871215820312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.916549682617188 × 215)
    floor (0.916549682617188 × 32768)
    floor (30033.5)     		tx = 30033
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.914871215820312 × 215)
    floor (0.914871215820312 × 32768)
    floor (29978.5)     		ty = 29978
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 30033 / 29978 ti = "15/30033/29978"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/30033/29978.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30033 ÷ 215
    30033 ÷ 32768     		x = 0.916534423828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29978 ÷ 215
    29978 ÷ 32768     		y = 0.91485595703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.916534423828125 × 2 - 1) × π
    0.83306884765625 × 3.1415926535     		Λ = 2.61716297
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.91485595703125 × 2 - 1) × π
    -0.8297119140625 × 3.1415926535     		Φ = -2.60661685374017
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.61716297} λ = 2.61716297}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.60661685374017))-π/2
    2×atan(0.0737837431811087)-π/2
    2×0.0736502849401826-π/2
    0.147300569880365-1.57079632675     		φ = -1.42349576
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.61716297} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 149.952392°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.42349576 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.560299°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30033 KachelY 29978 2.61716297 -1.42349576 149.952392 -81.560299
    Oben rechts KachelX + 1 30034 KachelY 29978 2.61735472 -1.42349576 149.963379 -81.560299
    Unten links KachelX 30033 KachelY + 1 29979 2.61716297 -1.42352390 149.952392 -81.561912
    Unten rechts KachelX + 1 30034 KachelY + 1 29979 2.61735472 -1.42352390 149.963379 -81.561912
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.42349576--1.42352390) × R
    2.81399999999543e-05 × 6371000     		dl = 179.279939999709m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.42349576--1.42352390) × R
    2.81399999999543e-05 × 6371000     		dr = 179.279939999709m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.61716297-2.61735472) × cos(-1.42349576) × R
    0.000191749999999935 × 0.146768469762199 × 6371000     		do = 179.298123323879m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.61716297-2.61735472) × cos(-1.42352390) × R
    0.000191749999999935 × 0.146740634435722 × 6371000     		du = 179.264118596519m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.42349576)-sin(-1.42352390))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.146768469762199-0.146740634435722)×R²
    abs(2.61735472-2.61716297)×2.78353264766829e-05×R²
    0.000191749999999935×2.78353264766829e-05×6371000²
    0.000191749999999935×2.78353264766829e-05×40589641000000     		ar = 32141.5086104341m²