Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 30033 / 29817
↖ ↑ ↗
← S 81.296692°
E149.952392°		 ← 184.86 m → S 81.296692°
E149.963379°		 →
↑
184.82 m
↓
↑
184.82 m
↓
S 81.298354°
E149.952392°		 ← 184.82 m →
34 162 m²		 S 81.298354°
E149.963379°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30033 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29817 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.916549682617188 y=0.909957885742188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.916549682617188 × 215)
    floor (0.916549682617188 × 32768)
    floor (30033.5)     		tx = 30033
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.909957885742188 × 215)
    floor (0.909957885742188 × 32768)
    floor (29817.5)     		ty = 29817
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 30033 / 29817 ti = "15/30033/29817"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/30033/29817.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30033 ÷ 215
    30033 ÷ 32768     		x = 0.916534423828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29817 ÷ 215
    29817 ÷ 32768     		y = 0.909942626953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.916534423828125 × 2 - 1) × π
    0.83306884765625 × 3.1415926535     		Λ = 2.61716297
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.909942626953125 × 2 - 1) × π
    -0.81988525390625 × 3.1415926535     		Φ = -2.57574549038486
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.61716297} λ = 2.61716297}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.57574549038486))-π/2
    2×atan(0.076097072012155)-π/2
    2×0.0759506935248351-π/2
    0.15190138704967-1.57079632675     		φ = -1.41889494
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.61716297} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 149.952392°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41889494 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.296692°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30033 KachelY 29817 2.61716297 -1.41889494 149.952392 -81.296692
    Oben rechts KachelX + 1 30034 KachelY 29817 2.61735472 -1.41889494 149.963379 -81.296692
    Unten links KachelX 30033 KachelY + 1 29818 2.61716297 -1.41892395 149.952392 -81.298354
    Unten rechts KachelX + 1 30034 KachelY + 1 29818 2.61735472 -1.41892395 149.963379 -81.298354
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41889494--1.41892395) × R
    2.9009999999996e-05 × 6371000     		dl = 184.822709999974m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41889494--1.41892395) × R
    2.9009999999996e-05 × 6371000     		dr = 184.822709999974m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.61716297-2.61735472) × cos(-1.41889494) × R
    0.000191749999999935 × 0.151317897481908 × 6371000     		do = 184.855882791313m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.61716297-2.61735472) × cos(-1.41892395) × R
    0.000191749999999935 × 0.151289221464006 × 6371000     		du = 184.82085104231m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41889494)-sin(-1.41892395))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.151317897481908-0.151289221464006)×R²
    abs(2.61735472-2.61716297)×2.86760179018242e-05×R²
    0.000191749999999935×2.86760179018242e-05×6371000²
    0.000191749999999935×2.86760179018242e-05×40589641000000     		ar = 34162.3278883985m²