Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 30032 / 29456
↖ ↑ ↗
← S 80.675559°
E149.941406°		 ← 197.94 m → S 80.675559°
E149.952392°		 →
↑
197.88 m
↓
↑
197.88 m
↓
S 80.677339°
E149.941406°		 ← 197.90 m →
39 164 m²		 S 80.677339°
E149.952392°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30032 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29456 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.916519165039062 y=0.898941040039062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.916519165039062 × 215)
    floor (0.916519165039062 × 32768)
    floor (30032.5)     		tx = 30032
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.898941040039062 × 215)
    floor (0.898941040039062 × 32768)
    floor (29456.5)     		ty = 29456
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 30032 / 29456 ti = "15/30032/29456"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/30032/29456.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30032 ÷ 215
    30032 ÷ 32768     		x = 0.91650390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29456 ÷ 215
    29456 ÷ 32768     		y = 0.89892578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.91650390625 × 2 - 1) × π
    0.8330078125 × 3.1415926535     		Λ = 2.61697122
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.89892578125 × 2 - 1) × π
    -0.7978515625 × 3.1415926535     		Φ = -2.5065246073335
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.61697122} λ = 2.61697122}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.5065246073335))-π/2
    2×atan(0.0815511696459188)-π/2
    2×0.0813710997578913-π/2
    0.162742199515783-1.57079632675     		φ = -1.40805413
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.61697122} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 149.941406°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.40805413 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.675559°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30032 KachelY 29456 2.61697122 -1.40805413 149.941406 -80.675559
    Oben rechts KachelX + 1 30033 KachelY 29456 2.61716297 -1.40805413 149.952392 -80.675559
    Unten links KachelX 30032 KachelY + 1 29457 2.61697122 -1.40808519 149.941406 -80.677339
    Unten rechts KachelX + 1 30033 KachelY + 1 29457 2.61716297 -1.40808519 149.952392 -80.677339
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.40805413--1.40808519) × R
    3.10599999999717e-05 × 6371000     		dl = 197.883259999819m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.40805413--1.40808519) × R
    3.10599999999717e-05 × 6371000     		dr = 197.883259999819m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.61697122-2.61716297) × cos(-1.40805413) × R
    0.000191749999999935 × 0.162024775706063 × 6371000     		do = 197.935825474906m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.61697122-2.61716297) × cos(-1.40808519) × R
    0.000191749999999935 × 0.161994126033314 × 6371000     		du = 197.898382631676m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.40805413)-sin(-1.40808519))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.162024775706063-0.161994126033314)×R²
    abs(2.61716297-2.61697122)×3.06496727487948e-05×R²
    0.000191749999999935×3.06496727487948e-05×6371000²
    0.000191749999999935×3.06496727487948e-05×40589641000000     		ar = 39164.4817628693m²