Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30032 / 17105
↖ ↑ ↗
← N 64.883934°
W 15.029297°		 ← 259.25 m → N 64.883934°
W 15.023804°		 →
↑
259.30 m
↓
↑
259.30 m
↓
N 64.881602°
W 15.029297°		 ← 259.27 m →
67 227 m²		 N 64.881602°
W 15.023804°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30032 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17105 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.458259582519531 y=0.261009216308594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.458259582519531 × 216)
    floor (0.458259582519531 × 65536)
    floor (30032.5)     		tx = 30032
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.261009216308594 × 216)
    floor (0.261009216308594 × 65536)
    floor (17105.5)     		ty = 17105
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30032 / 17105 ti = "16/30032/17105"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30032/17105.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30032 ÷ 216
    30032 ÷ 65536     		x = 0.458251953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17105 ÷ 216
    17105 ÷ 65536     		y = 0.261001586914062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.458251953125 × 2 - 1) × π
    -0.08349609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.26231071
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.261001586914062 × 2 - 1) × π
    0.477996826171875 × 3.1415926535     		Φ = 1.50167131749788
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.26231071} λ = -0.26231071}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.50167131749788))-π/2
    2×atan(4.48918565854588)-π/2
    2×1.35161730265089-π/2
    2.70323460530178-1.57079632675     		φ = 1.13243828
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.26231071} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.029297°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.13243828 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 64.883934°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30032 KachelY 17105 -0.26231071 1.13243828 -15.029297 64.883934
    Oben rechts KachelX + 1 30033 KachelY 17105 -0.26221484 1.13243828 -15.023804 64.883934
    Unten links KachelX 30032 KachelY + 1 17106 -0.26231071 1.13239758 -15.029297 64.881602
    Unten rechts KachelX + 1 30033 KachelY + 1 17106 -0.26221484 1.13239758 -15.023804 64.881602
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.13243828-1.13239758) × R
    4.07000000000046e-05 × 6371000     		dl = 259.299700000029m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.13243828-1.13239758) × R
    4.07000000000046e-05 × 6371000     		dr = 259.299700000029m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.26231071--0.26221484) × cos(1.13243828) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.424453331671798 × 6371000     		do = 259.250903920882m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.26231071--0.26221484) × cos(1.13239758) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.424490183127746 × 6371000     		du = 259.273412339482m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.13243828)-sin(1.13239758))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.424453331671798-0.424490183127746)×R²
    abs(-0.26221484--0.26231071)×3.68514559483391e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.68514559483391e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.68514559483391e-05×40589641000000     		ar = 67226.599833914m²