Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 30031 / 29806
↖ ↑ ↗
← S 81.278386°
E149.930420°		 ← 185.23 m → S 81.278386°
E149.941406°		 →
↑
185.27 m
↓
↑
185.27 m
↓
S 81.280052°
E149.930420°		 ← 185.20 m →
34 314 m²		 S 81.280052°
E149.941406°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30031 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29806 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.916488647460938 y=0.909622192382812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.916488647460938 × 215)
    floor (0.916488647460938 × 32768)
    floor (30031.5)     		tx = 30031
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.909622192382812 × 215)
    floor (0.909622192382812 × 32768)
    floor (29806.5)     		ty = 29806
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 30031 / 29806 ti = "15/30031/29806"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/30031/29806.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30031 ÷ 215
    30031 ÷ 32768     		x = 0.916473388671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29806 ÷ 215
    29806 ÷ 32768     		y = 0.90960693359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.916473388671875 × 2 - 1) × π
    0.83294677734375 × 3.1415926535     		Λ = 2.61677948
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.90960693359375 × 2 - 1) × π
    -0.8192138671875 × 3.1415926535     		Φ = -2.57363626680157
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.61677948} λ = 2.61677948}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.57363626680157))-π/2
    2×atan(0.0762577471413797)-π/2
    2×0.0761104416357988-π/2
    0.152220883271598-1.57079632675     		φ = -1.41857544
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.61677948} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 149.930420°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41857544 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.278386°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30031 KachelY 29806 2.61677948 -1.41857544 149.930420 -81.278386
    Oben rechts KachelX + 1 30032 KachelY 29806 2.61697122 -1.41857544 149.941406 -81.278386
    Unten links KachelX 30031 KachelY + 1 29807 2.61677948 -1.41860452 149.930420 -81.280052
    Unten rechts KachelX + 1 30032 KachelY + 1 29807 2.61697122 -1.41860452 149.941406 -81.280052
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41857544--1.41860452) × R
    2.90800000000146e-05 × 6371000     		dl = 185.268680000093m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41857544--1.41860452) × R
    2.90800000000146e-05 × 6371000     		dr = 185.268680000093m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.61677948-2.61697122) × cos(-1.41857544) × R
    0.000191739999999996 × 0.15163371075902 × 6371000     		do = 185.23203210265m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.61677948-2.61697122) × cos(-1.41860452) × R
    0.000191739999999996 × 0.151604966954087 × 6371000     		du = 185.196919373617m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41857544)-sin(-1.41860452))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.15163371075902-0.151604966954087)×R²
    abs(2.61697122-2.61677948)×2.87438049327571e-05×R²
    0.000191739999999996×2.87438049327571e-05×6371000²
    0.000191739999999996×2.87438049327571e-05×40589641000000     		ar = 34314.4414392157m²