Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 30030 / 41847
↖ ↑ ↗
← S 44.555249°
W 15.040283°		 ← 435.23 m → S 44.555249°
W 15.034790°		 →
↑
435.20 m
↓
↑
435.20 m
↓
S 44.559163°
W 15.040283°		 ← 435.20 m →
189 408 m²		 S 44.559163°
W 15.034790°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30030 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41847 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.458229064941406 y=0.638542175292969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.458229064941406 × 216)
    floor (0.458229064941406 × 65536)
    floor (30030.5)     		tx = 30030
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.638542175292969 × 216)
    floor (0.638542175292969 × 65536)
    floor (41847.5)     		ty = 41847
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30030 / 41847 ti = "16/30030/41847"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30030/41847.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30030 ÷ 216
    30030 ÷ 65536     		x = 0.458221435546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41847 ÷ 216
    41847 ÷ 65536     		y = 0.638534545898438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.458221435546875 × 2 - 1) × π
    -0.08355712890625 × 3.1415926535     		Λ = -0.26250246
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.638534545898438 × 2 - 1) × π
    -0.277069091796875 × 3.1415926535     		Φ = -0.87043822330098
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.26250246} λ = -0.26250246}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.87043822330098))-π/2
    2×atan(0.418767995138558)-π/2
    2×0.396580264091954-π/2
    0.793160528183908-1.57079632675     		φ = -0.77763580
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.26250246} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.040283°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.77763580 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -44.555249°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30030 KachelY 41847 -0.26250246 -0.77763580 -15.040283 -44.555249
    Oben rechts KachelX + 1 30031 KachelY 41847 -0.26240659 -0.77763580 -15.034790 -44.555249
    Unten links KachelX 30030 KachelY + 1 41848 -0.26250246 -0.77770411 -15.040283 -44.559163
    Unten rechts KachelX + 1 30031 KachelY + 1 41848 -0.26240659 -0.77770411 -15.034790 -44.559163
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.77763580--0.77770411) × R
    6.83099999999603e-05 × 6371000     		dl = 435.203009999747m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.77763580--0.77770411) × R
    6.83099999999603e-05 × 6371000     		dr = 435.203009999747m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.26250246--0.26240659) × cos(-0.77763580) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.71257424286229 × 6371000     		do = 435.231632757287m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.26250246--0.26240659) × cos(-0.77770411) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.7125263151283 × 6371000     		du = 435.202359083522m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.77763580)-sin(-0.77770411))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.71257424286229-0.7125263151283)×R²
    abs(-0.26240659--0.26250246)×4.792773398965e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.792773398965e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.792773398965e-05×40589641000000     		ar = 189407.746701435m²