Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 30030 / 29841
↖ ↑ ↗
← S 81.336499°
E149.919434°		 ← 184.02 m → S 81.336499°
E149.930420°		 →
↑
183.99 m
↓
↑
183.99 m
↓
S 81.338154°
E149.919434°		 ← 183.98 m →
33 855 m²		 S 81.338154°
E149.930420°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30030 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29841 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.916458129882812 y=0.910690307617188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.916458129882812 × 215)
    floor (0.916458129882812 × 32768)
    floor (30030.5)     		tx = 30030
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.910690307617188 × 215)
    floor (0.910690307617188 × 32768)
    floor (29841.5)     		ty = 29841
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 30030 / 29841 ti = "15/30030/29841"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/30030/29841.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30030 ÷ 215
    30030 ÷ 32768     		x = 0.91644287109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29841 ÷ 215
    29841 ÷ 32768     		y = 0.910675048828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.91644287109375 × 2 - 1) × π
    0.8328857421875 × 3.1415926535     		Λ = 2.61658773
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.910675048828125 × 2 - 1) × π
    -0.82135009765625 × 3.1415926535     		Φ = -2.58034743274838
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.61658773} λ = 2.61658773}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.58034743274838))-π/2
    2×atan(0.0757476822251639)-π/2
    2×0.0756033061541315-π/2
    0.151206612308263-1.57079632675     		φ = -1.41958971
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.61658773} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 149.919434°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41958971 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.336499°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30030 KachelY 29841 2.61658773 -1.41958971 149.919434 -81.336499
    Oben rechts KachelX + 1 30031 KachelY 29841 2.61677948 -1.41958971 149.930420 -81.336499
    Unten links KachelX 30030 KachelY + 1 29842 2.61658773 -1.41961859 149.919434 -81.338154
    Unten rechts KachelX + 1 30031 KachelY + 1 29842 2.61677948 -1.41961859 149.930420 -81.338154
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41958971--1.41961859) × R
    2.88800000001199e-05 × 6371000     		dl = 183.994480000764m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41958971--1.41961859) × R
    2.88800000001199e-05 × 6371000     		dr = 183.994480000764m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.61658773-2.61677948) × cos(-1.41958971) × R
    0.000191749999999935 × 0.150631091187767 × 6371000     		do = 184.016853265243m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.61658773-2.61677948) × cos(-1.41961859) × R
    0.000191749999999935 × 0.150602540644494 × 6371000     		du = 183.981974800971m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41958971)-sin(-1.41961859))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.150631091187767-0.150602540644494)×R²
    abs(2.61677948-2.61658773)×2.85505432734978e-05×R²
    0.000191749999999935×2.85505432734978e-05×6371000²
    0.000191749999999935×2.85505432734978e-05×40589641000000     		ar = 33854.8765084222m²