Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30029 / 20866
↖ ↑ ↗
← N 54.565692°
W 15.045777°		 ← 354.15 m → N 54.565692°
W 15.040283°		 →
↑
354.10 m
↓
↑
354.10 m
↓
N 54.562508°
W 15.045777°		 ← 354.18 m →
125 410 m²		 N 54.562508°
W 15.040283°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30029 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20866 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.458213806152344 y=0.318397521972656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.458213806152344 × 216)
    floor (0.458213806152344 × 65536)
    floor (30029.5)     		tx = 30029
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.318397521972656 × 216)
    floor (0.318397521972656 × 65536)
    floor (20866.5)     		ty = 20866
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30029 / 20866 ti = "16/30029/20866"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30029/20866.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30029 ÷ 216
    30029 ÷ 65536     		x = 0.458206176757812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20866 ÷ 216
    20866 ÷ 65536     		y = 0.318389892578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.458206176757812 × 2 - 1) × π
    -0.083587646484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.26259834
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.318389892578125 × 2 - 1) × π
    0.36322021484375 × 3.1415926535     		Φ = 1.14108995855582
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.26259834} λ = -0.26259834}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.14108995855582))-π/2
    2×atan(3.13017827110833)-π/2
    2×1.26157366080533-π/2
    2.52314732161066-1.57079632675     		φ = 0.95235099
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.26259834} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.045777°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.95235099 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 54.565692°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30029 KachelY 20866 -0.26259834 0.95235099 -15.045777 54.565692
    Oben rechts KachelX + 1 30030 KachelY 20866 -0.26250246 0.95235099 -15.040283 54.565692
    Unten links KachelX 30029 KachelY + 1 20867 -0.26259834 0.95229541 -15.045777 54.562508
    Unten rechts KachelX + 1 30030 KachelY + 1 20867 -0.26250246 0.95229541 -15.040283 54.562508
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.95235099-0.95229541) × R
    5.5580000000055e-05 × 6371000     		dl = 354.100180000351m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.95235099-0.95229541) × R
    5.5580000000055e-05 × 6371000     		dr = 354.100180000351m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.26259834--0.26250246) × cos(0.95235099) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.579769151982642 × 6371000     		do = 354.152844546915m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.26259834--0.26250246) × cos(0.95229541) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.579814436603252 × 6371000     		du = 354.180506724435m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.95235099)-sin(0.95229541))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.579769151982642-0.579814436603252)×R²
    abs(-0.26250246--0.26259834)×4.5284620609598e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.5284620609598e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.5284620609598e-05×40589641000000     		ar = 125410.483624806m²