Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 30028 / 29891
↖ ↑ ↗
← S 81.418853°
E149.897461°		 ← 182.28 m → S 81.418853°
E149.908447°		 →
↑
182.27 m
↓
↑
182.27 m
↓
S 81.420492°
E149.897461°		 ← 182.25 m →
33 222 m²		 S 81.420492°
E149.908447°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30028 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29891 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.916397094726562 y=0.912216186523438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.916397094726562 × 215)
    floor (0.916397094726562 × 32768)
    floor (30028.5)     		tx = 30028
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.912216186523438 × 215)
    floor (0.912216186523438 × 32768)
    floor (29891.5)     		ty = 29891
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 30028 / 29891 ti = "15/30028/29891"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/30028/29891.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30028 ÷ 215
    30028 ÷ 32768     		x = 0.9163818359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29891 ÷ 215
    29891 ÷ 32768     		y = 0.912200927734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.9163818359375 × 2 - 1) × π
    0.832763671875 × 3.1415926535     		Λ = 2.61620423
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.912200927734375 × 2 - 1) × π
    -0.82440185546875 × 3.1415926535     		Φ = -2.58993481267239
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.61620423} λ = 2.61620423}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.58993481267239))-π/2
    2×atan(0.0750249306006551)-π/2
    2×0.0748846388151007-π/2
    0.149769277630201-1.57079632675     		φ = -1.42102705
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.61620423} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 149.897461°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.42102705 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.418853°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30028 KachelY 29891 2.61620423 -1.42102705 149.897461 -81.418853
    Oben rechts KachelX + 1 30029 KachelY 29891 2.61639598 -1.42102705 149.908447 -81.418853
    Unten links KachelX 30028 KachelY + 1 29892 2.61620423 -1.42105566 149.897461 -81.420492
    Unten rechts KachelX + 1 30029 KachelY + 1 29892 2.61639598 -1.42105566 149.908447 -81.420492
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.42102705--1.42105566) × R
    2.86099999999845e-05 × 6371000     		dl = 182.274309999901m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.42102705--1.42105566) × R
    2.86099999999845e-05 × 6371000     		dr = 182.274309999901m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.61620423-2.61639598) × cos(-1.42102705) × R
    0.000191749999999935 × 0.149209996065874 × 6371000     		do = 182.280787686355m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.61620423-2.61639598) × cos(-1.42105566) × R
    0.000191749999999935 × 0.149181706278584 × 6371000     		du = 182.246227771828m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.42102705)-sin(-1.42105566))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.149209996065874-0.149181706278584)×R²
    abs(2.61639598-2.61620423)×2.82897872892485e-05×R²
    0.000191749999999935×2.82897872892485e-05×6371000²
    0.000191749999999935×2.82897872892485e-05×40589641000000     		ar = 33221.9551112463m²