Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30027 / 42788
↖ ↑ ↗
← S 48.122101°
W 15.056762°		 ← 407.73 m → S 48.122101°
W 15.051270°		 →
↑
407.68 m
↓
↑
407.68 m
↓
S 48.125768°
W 15.056762°		 ← 407.70 m →
166 217 m²		 S 48.125768°
W 15.051270°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30027 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42788 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.458183288574219 y=0.652900695800781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.458183288574219 × 216)
    floor (0.458183288574219 × 65536)
    floor (30027.5)     		tx = 30027
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.652900695800781 × 216)
    floor (0.652900695800781 × 65536)
    floor (42788.5)     		ty = 42788
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30027 / 42788 ti = "16/30027/42788"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30027/42788.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30027 ÷ 216
    30027 ÷ 65536     		x = 0.458175659179688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42788 ÷ 216
    42788 ÷ 65536     		y = 0.65289306640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.458175659179688 × 2 - 1) × π
    -0.083648681640625 × 3.1415926535     		Λ = -0.26279008
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.65289306640625 × 2 - 1) × π
    -0.3057861328125 × 3.1415926535     		Φ = -0.960655468385925
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.26279008} λ = -0.26279008}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.960655468385925))-π/2
    2×atan(0.382641994028012)-π/2
    2×0.365453610446974-π/2
    0.730907220893948-1.57079632675     		φ = -0.83988911
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.26279008} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.056762°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.83988911 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -48.122101°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30027 KachelY 42788 -0.26279008 -0.83988911 -15.056762 -48.122101
    Oben rechts KachelX + 1 30028 KachelY 42788 -0.26269421 -0.83988911 -15.051270 -48.122101
    Unten links KachelX 30027 KachelY + 1 42789 -0.26279008 -0.83995310 -15.056762 -48.125768
    Unten rechts KachelX + 1 30028 KachelY + 1 42789 -0.26269421 -0.83995310 -15.051270 -48.125768
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.83988911--0.83995310) × R
    6.39900000000138e-05 × 6371000     		dl = 407.680290000088m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.83988911--0.83995310) × R
    6.39900000000138e-05 × 6371000     		dr = 407.680290000088m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.26279008--0.26269421) × cos(-0.83988911) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.667545395212953 × 6371000     		do = 407.72856331588m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.26279008--0.26269421) × cos(-0.83995310) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.667497748869543 × 6371000     		du = 407.699461512039m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.83988911)-sin(-0.83995310))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.667545395212953-0.667497748869543)×R²
    abs(-0.26269421--0.26279008)×4.7646343410479e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.7646343410479e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.7646343410479e-05×40589641000000     		ar = 166216.966874755m²