Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 30026 / 29971
↖ ↑ ↗
← S 81.549004°
E149.875488°		 ← 179.54 m → S 81.549004°
E149.886475°		 →
↑
179.53 m
↓
↑
179.53 m
↓
S 81.550619°
E149.875488°		 ← 179.50 m →
32 230 m²		 S 81.550619°
E149.886475°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30026 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29971 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.916336059570312 y=0.914657592773438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.916336059570312 × 215)
    floor (0.916336059570312 × 32768)
    floor (30026.5)     		tx = 30026
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.914657592773438 × 215)
    floor (0.914657592773438 × 32768)
    floor (29971.5)     		ty = 29971
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 30026 / 29971 ti = "15/30026/29971"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/30026/29971.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30026 ÷ 215
    30026 ÷ 32768     		x = 0.91632080078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29971 ÷ 215
    29971 ÷ 32768     		y = 0.914642333984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.91632080078125 × 2 - 1) × π
    0.8326416015625 × 3.1415926535     		Λ = 2.61582074
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.914642333984375 × 2 - 1) × π
    -0.82928466796875 × 3.1415926535     		Φ = -2.60527462055081
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.61582074} λ = 2.61582074}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.60527462055081))-π/2
    2×atan(0.073882844663813)-π/2
    2×0.0737488491144749-π/2
    0.14749769822895-1.57079632675     		φ = -1.42329863
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.61582074} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 149.875488°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.42329863 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.549004°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30026 KachelY 29971 2.61582074 -1.42329863 149.875488 -81.549004
    Oben rechts KachelX + 1 30027 KachelY 29971 2.61601249 -1.42329863 149.886475 -81.549004
    Unten links KachelX 30026 KachelY + 1 29972 2.61582074 -1.42332681 149.875488 -81.550619
    Unten rechts KachelX + 1 30027 KachelY + 1 29972 2.61601249 -1.42332681 149.886475 -81.550619
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.42329863--1.42332681) × R
    2.81800000001553e-05 × 6371000     		dl = 179.534780000989m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.42329863--1.42332681) × R
    2.81800000001553e-05 × 6371000     		dr = 179.534780000989m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.61582074-2.61601249) × cos(-1.42329863) × R
    0.000191749999999935 × 0.146963462163431 × 6371000     		do = 179.536333694676m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.61582074-2.61601249) × cos(-1.42332681) × R
    0.000191749999999935 × 0.146935588085735 × 6371000     		du = 179.502281627305m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.42329863)-sin(-1.42332681))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.146963462163431-0.146935588085735)×R²
    abs(2.61601249-2.61582074)×2.78740776959441e-05×R²
    0.000191749999999935×2.78740776959441e-05×6371000²
    0.000191749999999935×2.78740776959441e-05×40589641000000     		ar = 32229.9594085686m²