Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 30025 / 29887
↖ ↑ ↗
← S 81.412293°
E149.864502°		 ← 182.42 m → S 81.412293°
E149.875488°		 →
↑
182.40 m
↓
↑
182.40 m
↓
S 81.413933°
E149.864502°		 ← 182.38 m →
33 270 m²		 S 81.413933°
E149.875488°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30025 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29887 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.916305541992188 y=0.912094116210938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.916305541992188 × 215)
    floor (0.916305541992188 × 32768)
    floor (30025.5)     		tx = 30025
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.912094116210938 × 215)
    floor (0.912094116210938 × 32768)
    floor (29887.5)     		ty = 29887
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 30025 / 29887 ti = "15/30025/29887"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/30025/29887.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30025 ÷ 215
    30025 ÷ 32768     		x = 0.916290283203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29887 ÷ 215
    29887 ÷ 32768     		y = 0.912078857421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.916290283203125 × 2 - 1) × π
    0.83258056640625 × 3.1415926535     		Λ = 2.61562899
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.912078857421875 × 2 - 1) × π
    -0.82415771484375 × 3.1415926535     		Φ = -2.58916782227847
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.61562899} λ = 2.61562899}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.58916782227847))-π/2
    2×atan(0.0750824960749913)-π/2
    2×0.0749418818360563-π/2
    0.149883763672113-1.57079632675     		φ = -1.42091256
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.61562899} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 149.864502°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.42091256 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.412293°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30025 KachelY 29887 2.61562899 -1.42091256 149.864502 -81.412293
    Oben rechts KachelX + 1 30026 KachelY 29887 2.61582074 -1.42091256 149.875488 -81.412293
    Unten links KachelX 30025 KachelY + 1 29888 2.61562899 -1.42094119 149.864502 -81.413933
    Unten rechts KachelX + 1 30026 KachelY + 1 29888 2.61582074 -1.42094119 149.875488 -81.413933
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.42091256--1.42094119) × R
    2.86299999998629e-05 × 6371000     		dl = 182.401729999127m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.42091256--1.42094119) × R
    2.86299999998629e-05 × 6371000     		dr = 182.401729999127m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.61562899-2.61582074) × cos(-1.42091256) × R
    0.000191750000000379 × 0.149323203432889 × 6371000     		do = 182.419086249713m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.61562899-2.61582074) × cos(-1.42094119) × R
    0.000191750000000379 × 0.149294894358631 × 6371000     		du = 182.384502773468m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.42091256)-sin(-1.42094119))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.149323203432889-0.149294894358631)×R²
    abs(2.61582074-2.61562899)×2.83090742582148e-05×R²
    0.000191750000000379×2.83090742582148e-05×6371000²
    0.000191750000000379×2.83090742582148e-05×40589641000000     		ar = 33270.4028763503m²