Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 30024 / 29889
↖ ↑ ↗
← S 81.415574°
E149.853515°		 ← 182.35 m → S 81.415574°
E149.864502°		 →
↑
182.34 m
↓
↑
182.34 m
↓
S 81.417213°
E149.853515°		 ← 182.32 m →
33 246 m²		 S 81.417213°
E149.864502°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30024 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29889 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.916275024414062 y=0.912155151367188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.916275024414062 × 215)
    floor (0.916275024414062 × 32768)
    floor (30024.5)     		tx = 30024
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.912155151367188 × 215)
    floor (0.912155151367188 × 32768)
    floor (29889.5)     		ty = 29889
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 30024 / 29889 ti = "15/30024/29889"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/30024/29889.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30024 ÷ 215
    30024 ÷ 32768     		x = 0.916259765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29889 ÷ 215
    29889 ÷ 32768     		y = 0.912139892578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.916259765625 × 2 - 1) × π
    0.83251953125 × 3.1415926535     		Λ = 2.61543724
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.912139892578125 × 2 - 1) × π
    -0.82427978515625 × 3.1415926535     		Φ = -2.58955131747543
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.61543724} λ = 2.61543724}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.58955131747543))-π/2
    2×atan(0.0750537078188026)-π/2
    2×0.074913254898956-π/2
    0.149826509797912-1.57079632675     		φ = -1.42096982
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.61543724} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 149.853515°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.42096982 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.415574°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30024 KachelY 29889 2.61543724 -1.42096982 149.853515 -81.415574
    Oben rechts KachelX + 1 30025 KachelY 29889 2.61562899 -1.42096982 149.864502 -81.415574
    Unten links KachelX 30024 KachelY + 1 29890 2.61543724 -1.42099844 149.853515 -81.417213
    Unten rechts KachelX + 1 30025 KachelY + 1 29890 2.61562899 -1.42099844 149.864502 -81.417213
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.42096982--1.42099844) × R
    2.86199999999237e-05 × 6371000     		dl = 182.338019999514m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.42096982--1.42099844) × R
    2.86199999999237e-05 × 6371000     		dr = 182.338019999514m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.61543724-2.61562899) × cos(-1.42096982) × R
    0.000191749999999935 × 0.149266585161999 × 6371000     		do = 182.349919147304m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.61543724-2.61562899) × cos(-1.42099844) × R
    0.000191749999999935 × 0.14923828573103 × 6371000     		du = 182.315347451679m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.42096982)-sin(-1.42099844))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.149266585161999-0.14923828573103)×R²
    abs(2.61562899-2.61543724)×2.82994309696027e-05×R²
    0.000191749999999935×2.82994309696027e-05×6371000²
    0.000191749999999935×2.82994309696027e-05×40589641000000     		ar = 33246.1713400503m²