Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30023 / 27896
↖ ↑ ↗
← N 25.839449°
W 15.078735°		 ← 549.72 m → N 25.839449°
W 15.073242°		 →
↑
549.75 m
↓
↑
549.75 m
↓
N 25.834505°
W 15.078735°		 ← 549.74 m →
302 217 m²		 N 25.834505°
W 15.073242°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30023 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 27896 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.458122253417969 y=0.425666809082031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.458122253417969 × 216)
    floor (0.458122253417969 × 65536)
    floor (30023.5)     		tx = 30023
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.425666809082031 × 216)
    floor (0.425666809082031 × 65536)
    floor (27896.5)     		ty = 27896
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30023 / 27896 ti = "16/30023/27896"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30023/27896.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30023 ÷ 216
    30023 ÷ 65536     		x = 0.458114624023438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 27896 ÷ 216
    27896 ÷ 65536     		y = 0.4256591796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.458114624023438 × 2 - 1) × π
    -0.083770751953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.26317358
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4256591796875 × 2 - 1) × π
    0.148681640625 × 3.1415926535     		Φ = 0.467097149897827
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.26317358} λ = -0.26317358}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.467097149897827))-π/2
    2×atan(1.59535638459844)-π/2
    2×1.01088989787568-π/2
    2.02177979575136-1.57079632675     		φ = 0.45098347
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.26317358} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.078735°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.45098347 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 25.839449°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30023 KachelY 27896 -0.26317358 0.45098347 -15.078735 25.839449
    Oben rechts KachelX + 1 30024 KachelY 27896 -0.26307771 0.45098347 -15.073242 25.839449
    Unten links KachelX 30023 KachelY + 1 27897 -0.26317358 0.45089718 -15.078735 25.834505
    Unten rechts KachelX + 1 30024 KachelY + 1 27897 -0.26307771 0.45089718 -15.073242 25.834505
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.45098347-0.45089718) × R
    8.62899999999889e-05 × 6371000     		dl = 549.753589999929m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.45098347-0.45089718) × R
    8.62899999999889e-05 × 6371000     		dr = 549.753589999929m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.26317358--0.26307771) × cos(0.45098347) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.900018891405658 × 6371000     		do = 549.720531639522m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.26317358--0.26307771) × cos(0.45089718) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.900056497627838 × 6371000     		du = 549.743501060106m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.45098347)-sin(0.45089718))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.900018891405658-0.900056497627838)×R²
    abs(-0.26307771--0.26317358)×3.76062221804085e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.76062221804085e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.76062221804085e-05×40589641000000     		ar = 302217.14971361m²