Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 30019 / 29890
↖ ↑ ↗
← S 81.417213°
E149.798584°		 ← 182.31 m → S 81.417213°
E149.809570°		 →
↑
182.27 m
↓
↑
182.27 m
↓
S 81.418853°
E149.798584°		 ← 182.27 m →
33 227 m²		 S 81.418853°
E149.809570°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30019 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29890 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.916122436523438 y=0.912185668945312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.916122436523438 × 215)
    floor (0.916122436523438 × 32768)
    floor (30019.5)     		tx = 30019
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.912185668945312 × 215)
    floor (0.912185668945312 × 32768)
    floor (29890.5)     		ty = 29890
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 30019 / 29890 ti = "15/30019/29890"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/30019/29890.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30019 ÷ 215
    30019 ÷ 32768     		x = 0.916107177734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29890 ÷ 215
    29890 ÷ 32768     		y = 0.91217041015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.916107177734375 × 2 - 1) × π
    0.83221435546875 × 3.1415926535     		Λ = 2.61447851
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.91217041015625 × 2 - 1) × π
    -0.8243408203125 × 3.1415926535     		Φ = -2.58974306507391
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.61447851} λ = 2.61447851}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.58974306507391))-π/2
    2×atan(0.0750393178302382)-π/2
    2×0.0748989455006241-π/2
    0.149797891001248-1.57079632675     		φ = -1.42099844
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.61447851} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 149.798584°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.42099844 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.417213°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30019 KachelY 29890 2.61447851 -1.42099844 149.798584 -81.417213
    Oben rechts KachelX + 1 30020 KachelY 29890 2.61467025 -1.42099844 149.809570 -81.417213
    Unten links KachelX 30019 KachelY + 1 29891 2.61447851 -1.42102705 149.798584 -81.418853
    Unten rechts KachelX + 1 30020 KachelY + 1 29891 2.61467025 -1.42102705 149.809570 -81.418853
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.42099844--1.42102705) × R
    2.86099999999845e-05 × 6371000     		dl = 182.274309999901m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.42099844--1.42102705) × R
    2.86099999999845e-05 × 6371000     		dr = 182.274309999901m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.61447851-2.61467025) × cos(-1.42099844) × R
    0.000191739999999996 × 0.14923828573103 × 6371000     		do = 182.305839480553m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.61447851-2.61467025) × cos(-1.42102705) × R
    0.000191739999999996 × 0.149209996065874 × 6371000     		du = 182.271281517563m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.42099844)-sin(-1.42102705))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.14923828573103-0.149209996065874)×R²
    abs(2.61467025-2.61447851)×2.82896651560838e-05×R²
    0.000191739999999996×2.82896651560838e-05×6371000²
    0.000191739999999996×2.82896651560838e-05×40589641000000     		ar = 33226.5215880728m²