Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30019 / 20856
↖ ↑ ↗
← N 54.597528°
W 15.100708°		 ← 353.84 m → N 54.597528°
W 15.095215°		 →
↑
353.85 m
↓
↑
353.85 m
↓
N 54.594345°
W 15.100708°		 ← 353.87 m →
125 209 m²		 N 54.594345°
W 15.095215°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30019 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20856 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.458061218261719 y=0.318244934082031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.458061218261719 × 216)
    floor (0.458061218261719 × 65536)
    floor (30019.5)     		tx = 30019
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.318244934082031 × 216)
    floor (0.318244934082031 × 65536)
    floor (20856.5)     		ty = 20856
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30019 / 20856 ti = "16/30019/20856"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30019/20856.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30019 ÷ 216
    30019 ÷ 65536     		x = 0.458053588867188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20856 ÷ 216
    20856 ÷ 65536     		y = 0.3182373046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.458053588867188 × 2 - 1) × π
    -0.083892822265625 × 3.1415926535     		Λ = -0.26355707
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3182373046875 × 2 - 1) × π
    0.363525390625 × 3.1415926535     		Φ = 1.14204869654822
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.26355707} λ = -0.26355707}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.14204869654822))-π/2
    2×atan(3.13318073099603)-π/2
    2×1.26185147562234-π/2
    2.52370295124468-1.57079632675     		φ = 0.95290662
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.26355707} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.100708°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.95290662 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 54.597528°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30019 KachelY 20856 -0.26355707 0.95290662 -15.100708 54.597528
    Oben rechts KachelX + 1 30020 KachelY 20856 -0.26346120 0.95290662 -15.095215 54.597528
    Unten links KachelX 30019 KachelY + 1 20857 -0.26355707 0.95285108 -15.100708 54.594345
    Unten rechts KachelX + 1 30020 KachelY + 1 20857 -0.26346120 0.95285108 -15.095215 54.594345
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.95290662-0.95285108) × R
    5.55400000000761e-05 × 6371000     		dl = 353.845340000485m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.95290662-0.95285108) × R
    5.55400000000761e-05 × 6371000     		dr = 353.845340000485m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.26355707--0.26346120) × cos(0.95290662) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.579316345862885 × 6371000     		do = 353.839339014133m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.26355707--0.26346120) × cos(0.95285108) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.579361615778761 × 6371000     		du = 353.866989325098m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.95290662)-sin(0.95285108))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.579316345862885-0.579361615778761)×R²
    abs(-0.26346120--0.26355707)×4.5269915875279e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.5269915875279e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.5269915875279e-05×40589641000000     		ar = 125209.293217798m²