Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30018 / 42966
↖ ↑ ↗
← S 48.770672°
W 15.106201°		 ← 402.60 m → S 48.770672°
W 15.100708°		 →
↑
402.58 m
↓
↑
402.58 m
↓
S 48.774293°
W 15.106201°		 ← 402.57 m →
162 073 m²		 S 48.774293°
W 15.100708°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30018 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42966 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.458045959472656 y=0.655616760253906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.458045959472656 × 216)
    floor (0.458045959472656 × 65536)
    floor (30018.5)     		tx = 30018
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.655616760253906 × 216)
    floor (0.655616760253906 × 65536)
    floor (42966.5)     		ty = 42966
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30018 / 42966 ti = "16/30018/42966"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30018/42966.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30018 ÷ 216
    30018 ÷ 65536     		x = 0.458038330078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42966 ÷ 216
    42966 ÷ 65536     		y = 0.655609130859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.458038330078125 × 2 - 1) × π
    -0.08392333984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.26365295
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.655609130859375 × 2 - 1) × π
    -0.31121826171875 × 3.1415926535     		Φ = -0.977721004650665
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.26365295} λ = -0.26365295}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.977721004650665))-π/2
    2×atan(0.376167406490173)-π/2
    2×0.359793756910457-π/2
    0.719587513820914-1.57079632675     		φ = -0.85120881
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.26365295} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.106201°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.85120881 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -48.770672°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30018 KachelY 42966 -0.26365295 -0.85120881 -15.106201 -48.770672
    Oben rechts KachelX + 1 30019 KachelY 42966 -0.26355707 -0.85120881 -15.100708 -48.770672
    Unten links KachelX 30018 KachelY + 1 42967 -0.26365295 -0.85127200 -15.106201 -48.774293
    Unten rechts KachelX + 1 30019 KachelY + 1 42967 -0.26355707 -0.85127200 -15.100708 -48.774293
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.85120881--0.85127200) × R
    6.31899999999908e-05 × 6371000     		dl = 402.583489999941m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.85120881--0.85127200) × R
    6.31899999999908e-05 × 6371000     		dr = 402.583489999941m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.26365295--0.26355707) × cos(-0.85120881) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.659074508648853 × 6371000     		do = 402.596639038394m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.26365295--0.26355707) × cos(-0.85127200) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.659026983546329 × 6371000     		du = 402.56760825918m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.85120881)-sin(-0.85127200))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.659074508648853-0.659026983546329)×R²
    abs(-0.26355707--0.26365295)×4.75251025239265e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.75251025239265e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.75251025239265e-05×40589641000000     		ar = 162072.91640398m²