Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 30018 / 29910
↖ ↑ ↗
← S 81.449942°
E149.787598°		 ← 181.63 m → S 81.449942°
E149.798584°		 →
↑
181.64 m
↓
↑
181.64 m
↓
S 81.451576°
E149.787598°		 ← 181.59 m →
32 987 m²		 S 81.451576°
E149.798584°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30018 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29910 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.916091918945312 y=0.912796020507812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.916091918945312 × 215)
    floor (0.916091918945312 × 32768)
    floor (30018.5)     		tx = 30018
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.912796020507812 × 215)
    floor (0.912796020507812 × 32768)
    floor (29910.5)     		ty = 29910
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 30018 / 29910 ti = "15/30018/29910"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/30018/29910.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30018 ÷ 215
    30018 ÷ 32768     		x = 0.91607666015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29910 ÷ 215
    29910 ÷ 32768     		y = 0.91278076171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.91607666015625 × 2 - 1) × π
    0.8321533203125 × 3.1415926535     		Λ = 2.61428676
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.91278076171875 × 2 - 1) × π
    -0.8255615234375 × 3.1415926535     		Φ = -2.59357801704352
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.61428676} λ = 2.61428676}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.59357801704352))-π/2
    2×atan(0.0747520967420761)-π/2
    2×0.0746133265558564-π/2
    0.149226653111713-1.57079632675     		φ = -1.42156967
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.61428676} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 149.787598°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.42156967 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.449942°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30018 KachelY 29910 2.61428676 -1.42156967 149.787598 -81.449942
    Oben rechts KachelX + 1 30019 KachelY 29910 2.61447851 -1.42156967 149.798584 -81.449942
    Unten links KachelX 30018 KachelY + 1 29911 2.61428676 -1.42159818 149.787598 -81.451576
    Unten rechts KachelX + 1 30019 KachelY + 1 29911 2.61447851 -1.42159818 149.798584 -81.451576
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.42156967--1.42159818) × R
    2.85099999999261e-05 × 6371000     		dl = 181.637209999529m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.42156967--1.42159818) × R
    2.85099999999261e-05 × 6371000     		dr = 181.637209999529m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.61428676-2.61447851) × cos(-1.42156967) × R
    0.000191749999999935 × 0.148673428468832 × 6371000     		do = 181.625295649531m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.61428676-2.61447851) × cos(-1.42159818) × R
    0.000191749999999935 × 0.148645235258598 × 6371000     		du = 181.590853717325m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.42156967)-sin(-1.42159818))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.148673428468832-0.148645235258598)×R²
    abs(2.61447851-2.61428676)×2.81932102346449e-05×R²
    0.000191749999999935×2.81932102346449e-05×6371000²
    0.000191749999999935×2.81932102346449e-05×40589641000000     		ar = 32986.7840018501m²