Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 30017 / 21699
↖ ↑ ↗
← N 76.056523°
W 97.555847°		 ← 73.60 m → N 76.056523°
W 97.553101°		 →
↑
73.59 m
↓
↑
73.59 m
↓
N 76.055861°
W 97.555847°		 ← 73.60 m →
5 416 m²		 N 76.055861°
W 97.553101°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30017 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21699 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.229015350341797 y=0.165554046630859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.229015350341797 × 217)
    floor (0.229015350341797 × 131072)
    floor (30017.5)     		tx = 30017
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.165554046630859 × 217)
    floor (0.165554046630859 × 131072)
    floor (21699.5)     		ty = 21699
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 30017 / 21699 ti = "17/30017/21699"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/30017/21699.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30017 ÷ 217
    30017 ÷ 131072     		x = 0.229011535644531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21699 ÷ 217
    21699 ÷ 131072     		y = 0.165550231933594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.229011535644531 × 2 - 1) × π
    -0.541976928710938 × 3.1415926535     		Λ = -1.70267074
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.165550231933594 × 2 - 1) × π
    0.668899536132812 × 3.1415926535     		Φ = 2.1014098686444
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.70267074} λ = -1.70267074}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.1014098686444))-π/2
    2×atan(8.17769125935658)-π/2
    2×1.44911653161892-π/2
    2.89823306323783-1.57079632675     		φ = 1.32743674
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.70267074} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -97.555847°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.32743674 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.056523°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30017 KachelY 21699 -1.70267074 1.32743674 -97.555847 76.056523
    Oben rechts KachelX + 1 30018 KachelY 21699 -1.70262280 1.32743674 -97.553101 76.056523
    Unten links KachelX 30017 KachelY + 1 21700 -1.70267074 1.32742519 -97.555847 76.055861
    Unten rechts KachelX + 1 30018 KachelY + 1 21700 -1.70262280 1.32742519 -97.553101 76.055861
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.32743674-1.32742519) × R
    1.15499999999713e-05 × 6371000     		dl = 73.5850499998172m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.32743674-1.32742519) × R
    1.15499999999713e-05 × 6371000     		dr = 73.5850499998172m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.70267074--1.70262280) × cos(1.32743674) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.240964573069603 × 6371000     		do = 73.5967830435193m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.70267074--1.70262280) × cos(1.32742519) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.240975782720215 × 6371000     		du = 73.6002067593526m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.32743674)-sin(1.32742519))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.240964573069603-0.240975782720215)×R²
    abs(-1.70262280--1.70267074)×1.12096506117709e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.12096506117709e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.12096506117709e-05×40589641000000     		ar = 5415.74892725544m²