Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30016 / 42790
↖ ↑ ↗
← S 48.129435°
W 15.117188°		 ← 407.71 m → S 48.129435°
W 15.111694°		 →
↑
407.68 m
↓
↑
407.68 m
↓
S 48.133101°
W 15.117188°		 ← 407.68 m →
166 211 m²		 S 48.133101°
W 15.111694°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30016 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42790 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.458015441894531 y=0.652931213378906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.458015441894531 × 216)
    floor (0.458015441894531 × 65536)
    floor (30016.5)     		tx = 30016
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.652931213378906 × 216)
    floor (0.652931213378906 × 65536)
    floor (42790.5)     		ty = 42790
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30016 / 42790 ti = "16/30016/42790"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30016/42790.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30016 ÷ 216
    30016 ÷ 65536     		x = 0.4580078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42790 ÷ 216
    42790 ÷ 65536     		y = 0.652923583984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4580078125 × 2 - 1) × π
    -0.083984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.26384470
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.652923583984375 × 2 - 1) × π
    -0.30584716796875 × 3.1415926535     		Φ = -0.960847215984406
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.26384470} λ = -0.26384470}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.960847215984406))-π/2
    2×atan(0.382568630378456)-π/2
    2×0.365389614902061-π/2
    0.730779229804122-1.57079632675     		φ = -0.84001710
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.26384470} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.117188°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.84001710 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -48.129435°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30016 KachelY 42790 -0.26384470 -0.84001710 -15.117188 -48.129435
    Oben rechts KachelX + 1 30017 KachelY 42790 -0.26374882 -0.84001710 -15.111694 -48.129435
    Unten links KachelX 30016 KachelY + 1 42791 -0.26384470 -0.84008109 -15.117188 -48.133101
    Unten rechts KachelX + 1 30017 KachelY + 1 42791 -0.26374882 -0.84008109 -15.111694 -48.133101
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.84001710--0.84008109) × R
    6.39900000000138e-05 × 6371000     		dl = 407.680290000088m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.84001710--0.84008109) × R
    6.39900000000138e-05 × 6371000     		dr = 407.680290000088m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.26384470--0.26374882) × cos(-0.84001710) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.667450092346371 × 6371000     		do = 407.712876735886m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.26384470--0.26374882) × cos(-0.84008109) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.667402440536296 × 6371000     		du = 407.683768557177m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.84001710)-sin(-0.84008109))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.667450092346371-0.667402440536296)×R²
    abs(-0.26374882--0.26384470)×4.76518100752665e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.76518100752665e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.76518100752665e-05×40589641000000     		ar = 166210.570466024m²