Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 30013 / 42964
↖ ↑ ↗
← S 48.763431°
W 15.133667°		 ← 402.65 m → S 48.763431°
W 15.128174°		 →
↑
402.58 m
↓
↑
402.58 m
↓
S 48.767052°
W 15.133667°		 ← 402.63 m →
162 096 m²		 S 48.767052°
W 15.128174°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30013 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42964 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.457969665527344 y=0.655586242675781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.457969665527344 × 216)
    floor (0.457969665527344 × 65536)
    floor (30013.5)     		tx = 30013
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.655586242675781 × 216)
    floor (0.655586242675781 × 65536)
    floor (42964.5)     		ty = 42964
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30013 / 42964 ti = "16/30013/42964"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30013/42964.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30013 ÷ 216
    30013 ÷ 65536     		x = 0.457962036132812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42964 ÷ 216
    42964 ÷ 65536     		y = 0.65557861328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.457962036132812 × 2 - 1) × π
    -0.084075927734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.26413232
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.65557861328125 × 2 - 1) × π
    -0.3111572265625 × 3.1415926535     		Φ = -0.977529257052185
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.26413232} λ = -0.26413232}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.977529257052185))-π/2
    2×atan(0.376239542602736)-π/2
    2×0.35985694944356-π/2
    0.71971389888712-1.57079632675     		φ = -0.85108243
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.26413232} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.133667°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.85108243 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -48.763431°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30013 KachelY 42964 -0.26413232 -0.85108243 -15.133667 -48.763431
    Oben rechts KachelX + 1 30014 KachelY 42964 -0.26403644 -0.85108243 -15.128174 -48.763431
    Unten links KachelX 30013 KachelY + 1 42965 -0.26413232 -0.85114562 -15.133667 -48.767052
    Unten rechts KachelX + 1 30014 KachelY + 1 42965 -0.26403644 -0.85114562 -15.128174 -48.767052
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.85108243--0.85114562) × R
    6.31900000001018e-05 × 6371000     		dl = 402.583490000648m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.85108243--0.85114562) × R
    6.31900000001018e-05 × 6371000     		dr = 402.583490000648m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.26413232--0.26403644) × cos(-0.85108243) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.659169550958705 × 6371000     		do = 402.654695774029m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.26413232--0.26403644) × cos(-0.85114562) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.659122031119708 × 6371000     		du = 402.625668210049m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.85108243)-sin(-0.85114562))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.659169550958705-0.659122031119708)×R²
    abs(-0.26403644--0.26413232)×4.75198389967568e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.75198389967568e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.75198389967568e-05×40589641000000     		ar = 162096.28973457m²