Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 30013 / 29867
↖ ↑ ↗
← S 81.379420°
E149.732666°		 ← 183.11 m → S 81.379420°
E149.743652°		 →
↑
183.10 m
↓
↑
183.10 m
↓
S 81.381067°
E149.732666°		 ← 183.08 m →
33 525 m²		 S 81.381067°
E149.743652°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30013 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29867 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.915939331054688 y=0.911483764648438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.915939331054688 × 215)
    floor (0.915939331054688 × 32768)
    floor (30013.5)     		tx = 30013
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.911483764648438 × 215)
    floor (0.911483764648438 × 32768)
    floor (29867.5)     		ty = 29867
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 30013 / 29867 ti = "15/30013/29867"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/30013/29867.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30013 ÷ 215
    30013 ÷ 32768     		x = 0.915924072265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29867 ÷ 215
    29867 ÷ 32768     		y = 0.911468505859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.915924072265625 × 2 - 1) × π
    0.83184814453125 × 3.1415926535     		Λ = 2.61332802
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.911468505859375 × 2 - 1) × π
    -0.82293701171875 × 3.1415926535     		Φ = -2.58533287030887
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.61332802} λ = 2.61332802}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.58533287030887))-π/2
    2×atan(0.0753709866614025)-π/2
    2×0.0752287490211595-π/2
    0.150457498042319-1.57079632675     		φ = -1.42033883
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.61332802} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 149.732666°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.42033883 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.379420°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30013 KachelY 29867 2.61332802 -1.42033883 149.732666 -81.379420
    Oben rechts KachelX + 1 30014 KachelY 29867 2.61351977 -1.42033883 149.743652 -81.379420
    Unten links KachelX 30013 KachelY + 1 29868 2.61332802 -1.42036757 149.732666 -81.381067
    Unten rechts KachelX + 1 30014 KachelY + 1 29868 2.61351977 -1.42036757 149.743652 -81.381067
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.42033883--1.42036757) × R
    2.87400000000826e-05 × 6371000     		dl = 183.102540000526m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.42033883--1.42036757) × R
    2.87400000000826e-05 × 6371000     		dr = 183.102540000526m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.61332802-2.61351977) × cos(-1.42033883) × R
    0.000191749999999935 × 0.149890476417913 × 6371000     		do = 183.11208919326m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.61332802-2.61351977) × cos(-1.42036757) × R
    0.000191749999999935 × 0.149862061043088 × 6371000     		du = 183.07737585607m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.42033883)-sin(-1.42036757))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.149890476417913-0.149862061043088)×R²
    abs(2.61351977-2.61332802)×2.84153748250637e-05×R²
    0.000191749999999935×2.84153748250637e-05×6371000²
    0.000191749999999935×2.84153748250637e-05×40589641000000     		ar = 33525.1105883013m²