Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 30013 / 29816
↖ ↑ ↗
← S 81.295029°
E149.732666°		 ← 184.89 m → S 81.295029°
E149.743652°		 →
↑
184.89 m
↓
↑
184.89 m
↓
S 81.296692°
E149.732666°		 ← 184.86 m →
34 181 m²		 S 81.296692°
E149.743652°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30013 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29816 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.915939331054688 y=0.909927368164062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.915939331054688 × 215)
    floor (0.915939331054688 × 32768)
    floor (30013.5)     		tx = 30013
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.909927368164062 × 215)
    floor (0.909927368164062 × 32768)
    floor (29816.5)     		ty = 29816
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 30013 / 29816 ti = "15/30013/29816"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/30013/29816.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30013 ÷ 215
    30013 ÷ 32768     		x = 0.915924072265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29816 ÷ 215
    29816 ÷ 32768     		y = 0.909912109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.915924072265625 × 2 - 1) × π
    0.83184814453125 × 3.1415926535     		Λ = 2.61332802
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.909912109375 × 2 - 1) × π
    -0.81982421875 × 3.1415926535     		Φ = -2.57555374278638
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.61332802} λ = 2.61332802}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.57555374278638))-π/2
    2×atan(0.07611166484199)-π/2
    2×0.0759652023215346-π/2
    0.151930404643069-1.57079632675     		φ = -1.41886592
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.61332802} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 149.732666°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41886592 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.295029°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30013 KachelY 29816 2.61332802 -1.41886592 149.732666 -81.295029
    Oben rechts KachelX + 1 30014 KachelY 29816 2.61351977 -1.41886592 149.743652 -81.295029
    Unten links KachelX 30013 KachelY + 1 29817 2.61332802 -1.41889494 149.732666 -81.296692
    Unten rechts KachelX + 1 30014 KachelY + 1 29817 2.61351977 -1.41889494 149.743652 -81.296692
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41886592--1.41889494) × R
    2.90199999999352e-05 × 6371000     		dl = 184.886419999587m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41886592--1.41889494) × R
    2.90199999999352e-05 × 6371000     		dr = 184.886419999587m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.61332802-2.61351977) × cos(-1.41886592) × R
    0.000191749999999935 × 0.151346583257271 × 6371000     		do = 184.890926460413m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.61332802-2.61351977) × cos(-1.41889494) × R
    0.000191749999999935 × 0.151317897481908 × 6371000     		du = 184.855882791313m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41886592)-sin(-1.41889494))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.151346583257271-0.151317897481908)×R²
    abs(2.61351977-2.61332802)×2.86857753632186e-05×R²
    0.000191749999999935×2.86857753632186e-05×6371000²
    0.000191749999999935×2.86857753632186e-05×40589641000000     		ar = 34180.5819367029m²