Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30013 / 20832
↖ ↑ ↗
← N 54.673831°
W 15.133667°		 ← 353.21 m → N 54.673831°
W 15.128174°		 →
↑
353.21 m
↓
↑
353.21 m
↓
N 54.670655°
W 15.133667°		 ← 353.24 m →
124 763 m²		 N 54.670655°
W 15.128174°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30013 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20832 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.457969665527344 y=0.317878723144531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.457969665527344 × 216)
    floor (0.457969665527344 × 65536)
    floor (30013.5)     		tx = 30013
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.317878723144531 × 216)
    floor (0.317878723144531 × 65536)
    floor (20832.5)     		ty = 20832
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30013 / 20832 ti = "16/30013/20832"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30013/20832.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30013 ÷ 216
    30013 ÷ 65536     		x = 0.457962036132812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20832 ÷ 216
    20832 ÷ 65536     		y = 0.31787109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.457962036132812 × 2 - 1) × π
    -0.084075927734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.26413232
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.31787109375 × 2 - 1) × π
    0.3642578125 × 3.1415926535     		Φ = 1.14434966772998
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.26413232} λ = -0.26413232}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.14434966772998))-π/2
    2×atan(3.14039839019374)-π/2
    2×1.26251734590516-π/2
    2.52503469181031-1.57079632675     		φ = 0.95423837
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.26413232} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.133667°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.95423837 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 54.673831°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30013 KachelY 20832 -0.26413232 0.95423837 -15.133667 54.673831
    Oben rechts KachelX + 1 30014 KachelY 20832 -0.26403644 0.95423837 -15.128174 54.673831
    Unten links KachelX 30013 KachelY + 1 20833 -0.26413232 0.95418293 -15.133667 54.670655
    Unten rechts KachelX + 1 30014 KachelY + 1 20833 -0.26403644 0.95418293 -15.128174 54.670655
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.95423837-0.95418293) × R
    5.54400000000177e-05 × 6371000     		dl = 353.208240000113m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.95423837-0.95418293) × R
    5.54400000000177e-05 × 6371000     		dr = 353.208240000113m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.26413232--0.26403644) × cos(0.95423837) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.578230319306918 × 6371000     		do = 353.212846329476m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.26413232--0.26403644) × cos(0.95418293) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.578275550449524 × 6371000     		du = 353.240475839879m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.95423837)-sin(0.95418293))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.578230319306918-0.578275550449524)×R²
    abs(-0.26403644--0.26413232)×4.52311426054619e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.52311426054619e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.52311426054619e-05×40589641000000     		ar = 124762.567314951m²