Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 30012 / 21805
↖ ↑ ↗
← N 75.986196°
W 97.569580°		 ← 73.95 m → N 75.986196°
W 97.566834°		 →
↑
73.97 m
↓
↑
73.97 m
↓
N 75.985530°
W 97.569580°		 ← 73.95 m →
5 470 m²		 N 75.985530°
W 97.566834°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30012 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21805 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.228977203369141 y=0.166362762451172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.228977203369141 × 217)
    floor (0.228977203369141 × 131072)
    floor (30012.5)     		tx = 30012
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.166362762451172 × 217)
    floor (0.166362762451172 × 131072)
    floor (21805.5)     		ty = 21805
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 30012 / 21805 ti = "17/30012/21805"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/30012/21805.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30012 ÷ 217
    30012 ÷ 131072     		x = 0.228973388671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21805 ÷ 217
    21805 ÷ 131072     		y = 0.166358947753906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.228973388671875 × 2 - 1) × π
    -0.54205322265625 × 3.1415926535     		Λ = -1.70291042
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.166358947753906 × 2 - 1) × π
    0.667282104492188 × 3.1415926535     		Φ = 2.09632855728468
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.70291042} λ = -1.70291042}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.09632855728468))-π/2
    2×atan(8.13624325814507)-π/2
    2×1.44850281169031-π/2
    2.89700562338061-1.57079632675     		φ = 1.32620930
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.70291042} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -97.569580°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.32620930 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 75.986196°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30012 KachelY 21805 -1.70291042 1.32620930 -97.569580 75.986196
    Oben rechts KachelX + 1 30013 KachelY 21805 -1.70286249 1.32620930 -97.566834 75.986196
    Unten links KachelX 30012 KachelY + 1 21806 -1.70291042 1.32619769 -97.569580 75.985530
    Unten rechts KachelX + 1 30013 KachelY + 1 21806 -1.70286249 1.32619769 -97.566834 75.985530
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.32620930-1.32619769) × R
    1.16099999998287e-05 × 6371000     		dl = 73.9673099989087m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.32620930-1.32619769) × R
    1.16099999998287e-05 × 6371000     		dr = 73.9673099989087m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.70291042--1.70286249) × cos(1.32620930) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.242155663395865 × 6371000     		do = 73.9451449506034m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.70291042--1.70286249) × cos(1.32619769) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.242166927835892 × 6371000     		du = 73.9485846828768m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.32620930)-sin(1.32619769))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.242155663395865-0.242166927835892)×R²
    abs(-1.70286249--1.70291042)×1.12644400268314e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.12644400268314e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.12644400268314e-05×40589641000000     		ar = 5469.65067329052m²