Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 30012 / 21804
↖ ↑ ↗
← N 75.986860°
W 97.569580°		 ← 73.94 m → N 75.986860°
W 97.566834°		 →
↑
73.90 m
↓
↑
73.90 m
↓
N 75.986196°
W 97.569580°		 ← 73.95 m →
5 465 m²		 N 75.986196°
W 97.566834°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30012 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 21804 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.228977203369141 y=0.166355133056641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.228977203369141 × 217)
    floor (0.228977203369141 × 131072)
    floor (30012.5)     		tx = 30012
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.166355133056641 × 217)
    floor (0.166355133056641 × 131072)
    floor (21804.5)     		ty = 21804
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 30012 / 21804 ti = "17/30012/21804"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/30012/21804.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30012 ÷ 217
    30012 ÷ 131072     		x = 0.228973388671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 21804 ÷ 217
    21804 ÷ 131072     		y = 0.166351318359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.228973388671875 × 2 - 1) × π
    -0.54205322265625 × 3.1415926535     		Λ = -1.70291042
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.166351318359375 × 2 - 1) × π
    0.66729736328125 × 3.1415926535     		Φ = 2.0963764941843
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.70291042} λ = -1.70291042}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.0963764941843))-π/2
    2×atan(8.1366332937699)-π/2
    2×1.44850861565128-π/2
    2.89701723130255-1.57079632675     		φ = 1.32622090
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.70291042} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -97.569580°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.32622090 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 75.986860°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30012 KachelY 21804 -1.70291042 1.32622090 -97.569580 75.986860
    Oben rechts KachelX + 1 30013 KachelY 21804 -1.70286249 1.32622090 -97.566834 75.986860
    Unten links KachelX 30012 KachelY + 1 21805 -1.70291042 1.32620930 -97.569580 75.986196
    Unten rechts KachelX + 1 30013 KachelY + 1 21805 -1.70286249 1.32620930 -97.566834 75.986196
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.32622090-1.32620930) × R
    1.16000000001115e-05 × 6371000     		dl = 73.9036000007105m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.32622090-1.32620930) × R
    1.16000000001115e-05 × 6371000     		dr = 73.9036000007105m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.70291042--1.70286249) × cos(1.32622090) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.2421444086256 × 6371000     		do = 73.9417081711079m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.70291042--1.70286249) × cos(1.32620930) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.242155663395865 × 6371000     		du = 73.9451449506034m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.32622090)-sin(1.32620930))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.2421444086256-0.242155663395865)×R²
    abs(-1.70286249--1.70291042)×1.12547702655619e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.12547702655619e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.12547702655619e-05×40589641000000     		ar = 5464.68541936861m²