Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30012 / 20838
↖ ↑ ↗
← N 54.654768°
W 15.139160°		 ← 353.34 m → N 54.654768°
W 15.133667°		 →
↑
353.34 m
↓
↑
353.34 m
↓
N 54.651591°
W 15.139160°		 ← 353.37 m →
124 853 m²		 N 54.651591°
W 15.133667°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30012 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20838 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.457954406738281 y=0.317970275878906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.457954406738281 × 216)
    floor (0.457954406738281 × 65536)
    floor (30012.5)     		tx = 30012
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.317970275878906 × 216)
    floor (0.317970275878906 × 65536)
    floor (20838.5)     		ty = 20838
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30012 / 20838 ti = "16/30012/20838"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30012/20838.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30012 ÷ 216
    30012 ÷ 65536     		x = 0.45794677734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20838 ÷ 216
    20838 ÷ 65536     		y = 0.317962646484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.45794677734375 × 2 - 1) × π
    -0.0841064453125 × 3.1415926535     		Λ = -0.26422819
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.317962646484375 × 2 - 1) × π
    0.36407470703125 × 3.1415926535     		Φ = 1.14377442493454
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.26422819} λ = -0.26422819}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.14377442493454))-π/2
    2×atan(3.13859241813098)-π/2
    2×1.26235099546122-π/2
    2.52470199092244-1.57079632675     		φ = 0.95390566
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.26422819} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.139160°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.95390566 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 54.654768°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30012 KachelY 20838 -0.26422819 0.95390566 -15.139160 54.654768
    Oben rechts KachelX + 1 30013 KachelY 20838 -0.26413232 0.95390566 -15.133667 54.654768
    Unten links KachelX 30012 KachelY + 1 20839 -0.26422819 0.95385020 -15.139160 54.651591
    Unten rechts KachelX + 1 30013 KachelY + 1 20839 -0.26413232 0.95385020 -15.133667 54.651591
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.95390566-0.95385020) × R
    5.54600000000072e-05 × 6371000     		dl = 353.335660000046m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.95390566-0.95385020) × R
    5.54600000000072e-05 × 6371000     		dr = 353.335660000046m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.26422819--0.26413232) × cos(0.95390566) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.578501736596692 × 6371000     		do = 353.341785637013m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.26422819--0.26413232) × cos(0.95385020) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.578546973383645 × 6371000     		du = 353.369415713238m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.95390566)-sin(0.95385020))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.578501736596692-0.578546973383645)×R²
    abs(-0.26413232--0.26422819)×4.52367869525627e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.52367869525627e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.52367869525627e-05×40589641000000     		ar = 124853.134411027m²