Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30012 / 20831
↖ ↑ ↗
← N 54.677007°
W 15.139160°		 ← 353.15 m → N 54.677007°
W 15.133667°		 →
↑
353.14 m
↓
↑
353.14 m
↓
N 54.673831°
W 15.139160°		 ← 353.18 m →
124 717 m²		 N 54.673831°
W 15.133667°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30012 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20831 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.457954406738281 y=0.317863464355469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.457954406738281 × 216)
    floor (0.457954406738281 × 65536)
    floor (30012.5)     		tx = 30012
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.317863464355469 × 216)
    floor (0.317863464355469 × 65536)
    floor (20831.5)     		ty = 20831
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30012 / 20831 ti = "16/30012/20831"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30012/20831.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30012 ÷ 216
    30012 ÷ 65536     		x = 0.45794677734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20831 ÷ 216
    20831 ÷ 65536     		y = 0.317855834960938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.45794677734375 × 2 - 1) × π
    -0.0841064453125 × 3.1415926535     		Λ = -0.26422819
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.317855834960938 × 2 - 1) × π
    0.364288330078125 × 3.1415926535     		Φ = 1.14444554152922
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.26422819} λ = -0.26422819}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.14444554152922))-π/2
    2×atan(3.14069948655193)-π/2
    2×1.26254506339005-π/2
    2.52509012678011-1.57079632675     		φ = 0.95429380
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.26422819} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.139160°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.95429380 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 54.677007°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30012 KachelY 20831 -0.26422819 0.95429380 -15.139160 54.677007
    Oben rechts KachelX + 1 30013 KachelY 20831 -0.26413232 0.95429380 -15.133667 54.677007
    Unten links KachelX 30012 KachelY + 1 20832 -0.26422819 0.95423837 -15.139160 54.673831
    Unten rechts KachelX + 1 30013 KachelY + 1 20832 -0.26413232 0.95423837 -15.133667 54.673831
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.95429380-0.95423837) × R
    5.54299999999674e-05 × 6371000     		dl = 353.144529999793m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.95429380-0.95423837) × R
    5.54299999999674e-05 × 6371000     		dr = 353.144529999793m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.26422819--0.26413232) × cos(0.95429380) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.578185094546124 × 6371000     		do = 353.148384545058m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.26422819--0.26413232) × cos(0.95423837) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.578230319306918 × 6371000     		du = 353.176007275853m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.95429380)-sin(0.95423837))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.578185094546124-0.578230319306918)×R²
    abs(-0.26413232--0.26422819)×4.52247607941603e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.52247607941603e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.52247607941603e-05×40589641000000     		ar = 124717.297720602m²