Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30011 / 15585
↖ ↑ ↗
← N 68.202173°
W 15.144653°		 ← 226.81 m → N 68.202173°
W 15.139160°		 →
↑
226.87 m
↓
↑
226.87 m
↓
N 68.200132°
W 15.144653°		 ← 226.83 m →
51 458 m²		 N 68.200132°
W 15.139160°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30011 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15585 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.457939147949219 y=0.237815856933594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.457939147949219 × 216)
    floor (0.457939147949219 × 65536)
    floor (30011.5)     		tx = 30011
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.237815856933594 × 216)
    floor (0.237815856933594 × 65536)
    floor (15585.5)     		ty = 15585
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30011 / 15585 ti = "16/30011/15585"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30011/15585.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30011 ÷ 216
    30011 ÷ 65536     		x = 0.457931518554688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15585 ÷ 216
    15585 ÷ 65536     		y = 0.237808227539062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.457931518554688 × 2 - 1) × π
    -0.084136962890625 × 3.1415926535     		Λ = -0.26432406
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.237808227539062 × 2 - 1) × π
    0.524383544921875 × 3.1415926535     		Φ = 1.64739949234285
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.26432406} λ = -0.26432406}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.64739949234285))-π/2
    2×atan(5.19345662748187)-π/2
    2×1.38057439685784-π/2
    2.76114879371568-1.57079632675     		φ = 1.19035247
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.26432406} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.144653°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.19035247 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 68.202173°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30011 KachelY 15585 -0.26432406 1.19035247 -15.144653 68.202173
    Oben rechts KachelX + 1 30012 KachelY 15585 -0.26422819 1.19035247 -15.139160 68.202173
    Unten links KachelX 30011 KachelY + 1 15586 -0.26432406 1.19031686 -15.144653 68.200132
    Unten rechts KachelX + 1 30012 KachelY + 1 15586 -0.26422819 1.19031686 -15.139160 68.200132
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.19035247-1.19031686) × R
    3.56100000000747e-05 × 6371000     		dl = 226.871310000476m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.19035247-1.19031686) × R
    3.56100000000747e-05 × 6371000     		dr = 226.871310000476m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.26432406--0.26422819) × cos(1.19035247) × R
    9.58700000000534e-05 × 0.371332626970821 × 6371000     		do = 226.805427155876m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.26432406--0.26422819) × cos(1.19031686) × R
    9.58700000000534e-05 × 0.371365690617119 × 6371000     		du = 226.825622026666m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.19035247)-sin(1.19031686))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.371332626970821-0.371365690617119)×R²
    abs(-0.26422819--0.26432406)×3.30636462976819e-05×R²
    9.58700000000534e-05×3.30636462976819e-05×6371000²
    9.58700000000534e-05×3.30636462976819e-05×40589641000000     		ar = 51457.9351978512m²