Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30010 / 20829
↖ ↑ ↗
← N 54.683359°
W 15.150147°		 ← 353.13 m → N 54.683359°
W 15.144653°		 →
↑
353.14 m
↓
↑
353.14 m
↓
N 54.680183°
W 15.150147°		 ← 353.16 m →
124 711 m²		 N 54.680183°
W 15.144653°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30010 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20829 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.457923889160156 y=0.317832946777344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.457923889160156 × 216)
    floor (0.457923889160156 × 65536)
    floor (30010.5)     		tx = 30010
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.317832946777344 × 216)
    floor (0.317832946777344 × 65536)
    floor (20829.5)     		ty = 20829
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30010 / 20829 ti = "16/30010/20829"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30010/20829.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30010 ÷ 216
    30010 ÷ 65536     		x = 0.457916259765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20829 ÷ 216
    20829 ÷ 65536     		y = 0.317825317382812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.457916259765625 × 2 - 1) × π
    -0.08416748046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.26441994
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.317825317382812 × 2 - 1) × π
    0.364349365234375 × 3.1415926535     		Φ = 1.1446372891277
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.26441994} λ = -0.26441994}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.1446372891277))-π/2
    2×atan(3.14130176587699)-π/2
    2×1.26260049185567-π/2
    2.52520098371134-1.57079632675     		φ = 0.95440466
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.26441994} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.150147°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.95440466 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 54.683359°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30010 KachelY 20829 -0.26441994 0.95440466 -15.150147 54.683359
    Oben rechts KachelX + 1 30011 KachelY 20829 -0.26432406 0.95440466 -15.144653 54.683359
    Unten links KachelX 30010 KachelY + 1 20830 -0.26441994 0.95434923 -15.150147 54.680183
    Unten rechts KachelX + 1 30011 KachelY + 1 20830 -0.26432406 0.95434923 -15.144653 54.680183
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.95440466-0.95434923) × R
    5.54299999999674e-05 × 6371000     		dl = 353.144529999793m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.95440466-0.95434923) × R
    5.54299999999674e-05 × 6371000     		dr = 353.144529999793m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.26441994--0.26432406) × cos(0.95440466) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.57809463969528 × 6371000     		do = 353.129966237901m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.26441994--0.26432406) × cos(0.95434923) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.578139868008865 × 6371000     		du = 353.157594020193m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.95440466)-sin(0.95434923))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.57809463969528-0.578139868008865)×R²
    abs(-0.26432406--0.26441994)×4.52283135851106e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.52283135851106e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.52283135851106e-05×40589641000000     		ar = 124710.794287692m²