Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 30007 / 29870
↖ ↑ ↗
← S 81.384359°
E149.666748°		 ← 183.01 m → S 81.384359°
E149.677734°		 →
↑
182.98 m
↓
↑
182.98 m
↓
S 81.386005°
E149.666748°		 ← 182.97 m →
33 483 m²		 S 81.386005°
E149.677734°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30007 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29870 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.915756225585938 y=0.911575317382812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.915756225585938 × 215)
    floor (0.915756225585938 × 32768)
    floor (30007.5)     		tx = 30007
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.911575317382812 × 215)
    floor (0.911575317382812 × 32768)
    floor (29870.5)     		ty = 29870
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 30007 / 29870 ti = "15/30007/29870"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/30007/29870.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30007 ÷ 215
    30007 ÷ 32768     		x = 0.915740966796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29870 ÷ 215
    29870 ÷ 32768     		y = 0.91156005859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.915740966796875 × 2 - 1) × π
    0.83148193359375 × 3.1415926535     		Λ = 2.61217753
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.91156005859375 × 2 - 1) × π
    -0.8231201171875 × 3.1415926535     		Φ = -2.58590811310431
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.61217753} λ = 2.61217753}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.58590811310431))-π/2
    2×atan(0.0753276425122402)-π/2
    2×0.0751856495699659-π/2
    0.150371299139932-1.57079632675     		φ = -1.42042503
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.61217753} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 149.666748°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.42042503 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.384359°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30007 KachelY 29870 2.61217753 -1.42042503 149.666748 -81.384359
    Oben rechts KachelX + 1 30008 KachelY 29870 2.61236928 -1.42042503 149.677734 -81.384359
    Unten links KachelX 30007 KachelY + 1 29871 2.61217753 -1.42045375 149.666748 -81.386005
    Unten rechts KachelX + 1 30008 KachelY + 1 29871 2.61236928 -1.42045375 149.677734 -81.386005
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.42042503--1.42045375) × R
    2.87199999999821e-05 × 6371000     		dl = 182.975119999886m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.42042503--1.42045375) × R
    2.87199999999821e-05 × 6371000     		dr = 182.975119999886m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.61217753-2.61236928) × cos(-1.42042503) × R
    0.000191749999999935 × 0.14980524969642 × 6371000     		do = 183.007972885135m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.61217753-2.61236928) × cos(-1.42045375) × R
    0.000191749999999935 × 0.149776853724795 × 6371000     		du = 182.973283251656m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.42042503)-sin(-1.42045375))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.14980524969642-0.149776853724795)×R²
    abs(2.61236928-2.61217753)×2.83959716245175e-05×R²
    0.000191749999999935×2.83959716245175e-05×6371000²
    0.000191749999999935×2.83959716245175e-05×40589641000000     		ar = 33482.7321315122m²