Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 30006 / 29869
↖ ↑ ↗
← S 81.382713°
E149.655762°		 ← 183.03 m → S 81.382713°
E149.666748°		 →
↑
183.04 m
↓
↑
183.04 m
↓
S 81.384359°
E149.655762°		 ← 183 m →
33 499 m²		 S 81.384359°
E149.666748°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30006 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29869 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.915725708007812 y=0.911544799804688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.915725708007812 × 215)
    floor (0.915725708007812 × 32768)
    floor (30006.5)     		tx = 30006
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.911544799804688 × 215)
    floor (0.911544799804688 × 32768)
    floor (29869.5)     		ty = 29869
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 30006 / 29869 ti = "15/30006/29869"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/30006/29869.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30006 ÷ 215
    30006 ÷ 32768     		x = 0.91571044921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29869 ÷ 215
    29869 ÷ 32768     		y = 0.911529541015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.91571044921875 × 2 - 1) × π
    0.8314208984375 × 3.1415926535     		Λ = 2.61198579
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.911529541015625 × 2 - 1) × π
    -0.82305908203125 × 3.1415926535     		Φ = -2.58571636550583
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.61198579} λ = 2.61198579}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.58571636550583))-π/2
    2×atan(0.0753420877916707)-π/2
    2×0.075200013330146-π/2
    0.150400026660292-1.57079632675     		φ = -1.42039630
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.61198579} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 149.655762°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.42039630 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.382713°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30006 KachelY 29869 2.61198579 -1.42039630 149.655762 -81.382713
    Oben rechts KachelX + 1 30007 KachelY 29869 2.61217753 -1.42039630 149.666748 -81.382713
    Unten links KachelX 30006 KachelY + 1 29870 2.61198579 -1.42042503 149.655762 -81.384359
    Unten rechts KachelX + 1 30007 KachelY + 1 29870 2.61217753 -1.42042503 149.666748 -81.384359
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.42039630--1.42042503) × R
    2.87300000001434e-05 × 6371000     		dl = 183.038830000913m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.42039630--1.42042503) × R
    2.87300000001434e-05 × 6371000     		dr = 183.038830000913m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.61198579-2.61217753) × cos(-1.42039630) × R
    0.000191739999999996 × 0.149833655431591 × 6371000     		do = 183.033128544016m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.61198579-2.61217753) × cos(-1.42042503) × R
    0.000191739999999996 × 0.14980524969642 × 6371000     		du = 182.998428792735m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.42039630)-sin(-1.42042503))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.149833655431591-0.14980524969642)×R²
    abs(2.61217753-2.61198579)×2.84057351717382e-05×R²
    0.000191739999999996×2.84057351717382e-05×6371000²
    0.000191739999999996×2.84057351717382e-05×40589641000000     		ar = 33498.9940013084m²