Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30006 / 20766
↖ ↑ ↗
← N 54.882927°
W 15.172119°		 ← 351.36 m → N 54.882927°
W 15.166626°		 →
↑
351.36 m
↓
↑
351.36 m
↓
N 54.879767°
W 15.172119°		 ← 351.38 m →
123 457 m²		 N 54.879767°
W 15.166626°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30006 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20766 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.457862854003906 y=0.316871643066406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.457862854003906 × 216)
    floor (0.457862854003906 × 65536)
    floor (30006.5)     		tx = 30006
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.316871643066406 × 216)
    floor (0.316871643066406 × 65536)
    floor (20766.5)     		ty = 20766
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30006 / 20766 ti = "16/30006/20766"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30006/20766.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30006 ÷ 216
    30006 ÷ 65536     		x = 0.457855224609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20766 ÷ 216
    20766 ÷ 65536     		y = 0.316864013671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.457855224609375 × 2 - 1) × π
    -0.08428955078125 × 3.1415926535     		Λ = -0.26480343
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.316864013671875 × 2 - 1) × π
    0.36627197265625 × 3.1415926535     		Φ = 1.15067733847983
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.26480343} λ = -0.26480343}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.15067733847983))-π/2
    2×atan(3.1603327999074)-π/2
    2×1.26434205324014-π/2
    2.52868410648028-1.57079632675     		φ = 0.95788778
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.26480343} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.172119°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.95788778 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 54.882927°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30006 KachelY 20766 -0.26480343 0.95788778 -15.172119 54.882927
    Oben rechts KachelX + 1 30007 KachelY 20766 -0.26470756 0.95788778 -15.166626 54.882927
    Unten links KachelX 30006 KachelY + 1 20767 -0.26480343 0.95783263 -15.172119 54.879767
    Unten rechts KachelX + 1 30007 KachelY + 1 20767 -0.26470756 0.95783263 -15.166626 54.879767
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.95788778-0.95783263) × R
    5.51500000000038e-05 × 6371000     		dl = 351.360650000024m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.95788778-0.95783263) × R
    5.51500000000038e-05 × 6371000     		dr = 351.360650000024m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.26480343--0.26470756) × cos(0.95788778) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.575249018228645 × 6371000     		do = 351.355065038556m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.26480343--0.26470756) × cos(0.95783263) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.575294128859335 × 6371000     		du = 351.382618060078m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.95788778)-sin(0.95783263))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.575249018228645-0.575294128859335)×R²
    abs(-0.26470756--0.26480343)×4.5110630689793e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.5110630689793e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.5110630689793e-05×40589641000000     		ar = 123457.184587739m²