Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 30004 / 29872
↖ ↑ ↗
← S 81.387650°
E149.633789°		 ← 182.94 m → S 81.387650°
E149.644775°		 →
↑
182.91 m
↓
↑
182.91 m
↓
S 81.389295°
E149.633789°		 ← 182.90 m →
33 458 m²		 S 81.389295°
E149.644775°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30004 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29872 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.915664672851562 y=0.911636352539062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.915664672851562 × 215)
    floor (0.915664672851562 × 32768)
    floor (30004.5)     		tx = 30004
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.911636352539062 × 215)
    floor (0.911636352539062 × 32768)
    floor (29872.5)     		ty = 29872
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 30004 / 29872 ti = "15/30004/29872"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/30004/29872.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30004 ÷ 215
    30004 ÷ 32768     		x = 0.9156494140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29872 ÷ 215
    29872 ÷ 32768     		y = 0.91162109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.9156494140625 × 2 - 1) × π
    0.831298828125 × 3.1415926535     		Λ = 2.61160229
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.91162109375 × 2 - 1) × π
    -0.8232421875 × 3.1415926535     		Φ = -2.58629160830127
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.61160229} λ = 2.61160229}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.58629160830127))-π/2
    2×atan(0.0752987602615946)-π/2
    2×0.0751569302177369-π/2
    0.150313860435474-1.57079632675     		φ = -1.42048247
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.61160229} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 149.633789°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.42048247 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.387650°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30004 KachelY 29872 2.61160229 -1.42048247 149.633789 -81.387650
    Oben rechts KachelX + 1 30005 KachelY 29872 2.61179404 -1.42048247 149.644775 -81.387650
    Unten links KachelX 30004 KachelY + 1 29873 2.61160229 -1.42051118 149.633789 -81.389295
    Unten rechts KachelX + 1 30005 KachelY + 1 29873 2.61179404 -1.42051118 149.644775 -81.389295
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.42048247--1.42051118) × R
    2.87100000000429e-05 × 6371000     		dl = 182.911410000273m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.42048247--1.42051118) × R
    2.87100000000429e-05 × 6371000     		dr = 182.911410000273m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.61160229-2.61179404) × cos(-1.42048247) × R
    0.000191749999999935 × 0.149748457629629 × 6371000     		do = 182.938593467255m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.61160229-2.61179404) × cos(-1.42051118) × R
    0.000191749999999935 × 0.149720071298229 × 6371000     		du = 182.903915610653m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.42048247)-sin(-1.42051118))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.149748457629629-0.149720071298229)×R²
    abs(2.61179404-2.61160229)×2.83863314002875e-05×R²
    0.000191749999999935×2.83863314002875e-05×6371000²
    0.000191749999999935×2.83863314002875e-05×40589641000000     		ar = 33458.3845889889m²