Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 30004 / 20827
↖ ↑ ↗
← N 54.689710°
W 15.183105°		 ← 353.04 m → N 54.689710°
W 15.177612°		 →
↑
353.08 m
↓
↑
353.08 m
↓
N 54.686534°
W 15.183105°		 ← 353.07 m →
124 656 m²		 N 54.686534°
W 15.177612°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30004 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20827 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.457832336425781 y=0.317802429199219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.457832336425781 × 216)
    floor (0.457832336425781 × 65536)
    floor (30004.5)     		tx = 30004
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.317802429199219 × 216)
    floor (0.317802429199219 × 65536)
    floor (20827.5)     		ty = 20827
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30004 / 20827 ti = "16/30004/20827"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30004/20827.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30004 ÷ 216
    30004 ÷ 65536     		x = 0.45782470703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20827 ÷ 216
    20827 ÷ 65536     		y = 0.317794799804688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.45782470703125 × 2 - 1) × π
    -0.0843505859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.26499518
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.317794799804688 × 2 - 1) × π
    0.364410400390625 × 3.1415926535     		Φ = 1.14482903672618
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.26499518} λ = -0.26499518}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.14482903672618))-π/2
    2×atan(3.14190416069873)-π/2
    2×1.26265591164962-π/2
    2.52531182329924-1.57079632675     		φ = 0.95451550
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.26499518} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.183105°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.95451550 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 54.689710°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30004 KachelY 20827 -0.26499518 0.95451550 -15.183105 54.689710
    Oben rechts KachelX + 1 30005 KachelY 20827 -0.26489931 0.95451550 -15.177612 54.689710
    Unten links KachelX 30004 KachelY + 1 20828 -0.26499518 0.95446008 -15.183105 54.686534
    Unten rechts KachelX + 1 30005 KachelY + 1 20828 -0.26489931 0.95446008 -15.177612 54.686534
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.95451550-0.95446008) × R
    5.54199999999172e-05 × 6371000     		dl = 353.080819999473m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.95451550-0.95446008) × R
    5.54199999999172e-05 × 6371000     		dr = 353.080819999473m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.26499518--0.26489931) × cos(0.95451550) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.578004194060363 × 6371000     		do = 353.037892740769m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.26499518--0.26489931) × cos(0.95446008) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.578049417765525 × 6371000     		du = 353.065514826796m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.95451550)-sin(0.95446008))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.578004194060363-0.578049417765525)×R²
    abs(-0.26489931--0.26499518)×4.5223705161912e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.5223705161912e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.5223705161912e-05×40589641000000     		ar = 124655.785106064m²