Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 30003 / 29731
↖ ↑ ↗
← S 81.152551°
E149.622803°		 ← 187.89 m → S 81.152551°
E149.633789°		 →
↑
187.88 m
↓
↑
187.88 m
↓
S 81.154241°
E149.622803°		 ← 187.86 m →
35 298 m²		 S 81.154241°
E149.633789°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30003 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29731 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.915634155273438 y=0.907333374023438 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.915634155273438 × 215)
    floor (0.915634155273438 × 32768)
    floor (30003.5)     		tx = 30003
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.907333374023438 × 215)
    floor (0.907333374023438 × 32768)
    floor (29731.5)     		ty = 29731
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 30003 / 29731 ti = "15/30003/29731"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/30003/29731.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30003 ÷ 215
    30003 ÷ 32768     		x = 0.915618896484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29731 ÷ 215
    29731 ÷ 32768     		y = 0.907318115234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.915618896484375 × 2 - 1) × π
    0.83123779296875 × 3.1415926535     		Λ = 2.61141054
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.907318115234375 × 2 - 1) × π
    -0.81463623046875 × 3.1415926535     		Φ = -2.55925519691556
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.61141054} λ = 2.61141054}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.55925519691556))-π/2
    2×atan(0.0773623386994407)-π/2
    2×0.0772085544578039-π/2
    0.154417108915608-1.57079632675     		φ = -1.41637922
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.61141054} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 149.622803°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41637922 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.152551°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30003 KachelY 29731 2.61141054 -1.41637922 149.622803 -81.152551
    Oben rechts KachelX + 1 30004 KachelY 29731 2.61160229 -1.41637922 149.633789 -81.152551
    Unten links KachelX 30003 KachelY + 1 29732 2.61141054 -1.41640871 149.622803 -81.154241
    Unten rechts KachelX + 1 30004 KachelY + 1 29732 2.61160229 -1.41640871 149.633789 -81.154241
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41637922--1.41640871) × R
    2.94899999999654e-05 × 6371000     		dl = 187.880789999779m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41637922--1.41640871) × R
    2.94899999999654e-05 × 6371000     		dr = 187.880789999779m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.61141054-2.61160229) × cos(-1.41637922) × R
    0.000191749999999935 × 0.153804167889466 × 6371000     		do = 187.893208307298m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.61141054-2.61160229) × cos(-1.41640871) × R
    0.000191749999999935 × 0.153775028713779 × 6371000     		du = 187.857610746566m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41637922)-sin(-1.41640871))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.153804167889466-0.153775028713779)×R²
    abs(2.61160229-2.61141054)×2.91391756869208e-05×R²
    0.000191749999999935×2.91391756869208e-05×6371000²
    0.000191749999999935×2.91391756869208e-05×40589641000000     		ar = 35298.1803659803m²