Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30003 / 20760
↖ ↑ ↗
← N 54.901882°
W 15.188598°		 ← 351.19 m → N 54.901882°
W 15.183105°		 →
↑
351.23 m
↓
↑
351.23 m
↓
N 54.898723°
W 15.188598°		 ← 351.22 m →
123 354 m²		 N 54.898723°
W 15.183105°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30003 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20760 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.457817077636719 y=0.316780090332031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.457817077636719 × 216)
    floor (0.457817077636719 × 65536)
    floor (30003.5)     		tx = 30003
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.316780090332031 × 216)
    floor (0.316780090332031 × 65536)
    floor (20760.5)     		ty = 20760
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30003 / 20760 ti = "16/30003/20760"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30003/20760.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30003 ÷ 216
    30003 ÷ 65536     		x = 0.457809448242188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20760 ÷ 216
    20760 ÷ 65536     		y = 0.3167724609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.457809448242188 × 2 - 1) × π
    -0.084381103515625 × 3.1415926535     		Λ = -0.26509105
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3167724609375 × 2 - 1) × π
    0.366455078125 × 3.1415926535     		Φ = 1.15125258127527
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.26509105} λ = -0.26509105}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.15125258127527))-π/2
    2×atan(3.16215128156583)-π/2
    2×1.26450746824394-π/2
    2.52901493648787-1.57079632675     		φ = 0.95821861
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.26509105} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.188598°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.95821861 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 54.901882°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30003 KachelY 20760 -0.26509105 0.95821861 -15.188598 54.901882
    Oben rechts KachelX + 1 30004 KachelY 20760 -0.26499518 0.95821861 -15.183105 54.901882
    Unten links KachelX 30003 KachelY + 1 20761 -0.26509105 0.95816348 -15.188598 54.898723
    Unten rechts KachelX + 1 30004 KachelY + 1 20761 -0.26499518 0.95816348 -15.183105 54.898723
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.95821861-0.95816348) × R
    5.51300000000143e-05 × 6371000     		dl = 351.233230000091m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.95821861-0.95816348) × R
    5.51300000000143e-05 × 6371000     		dr = 351.233230000091m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.26509105--0.26499518) × cos(0.95821861) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.574978374978823 × 6371000     		do = 351.189759451531m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.26509105--0.26499518) × cos(0.95816348) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.575023479740293 × 6371000     		du = 351.217308888206m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.95821861)-sin(0.95816348))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.574978374978823-0.575023479740293)×R²
    abs(-0.26499518--0.26509105)×4.51047614707933e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.51047614707933e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.51047614707933e-05×40589641000000     		ar = 123354.351725206m²