Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30002 / 41618
↖ ↑ ↗
← S 43.651976°
W 15.194092°		 ← 441.98 m → S 43.651976°
W 15.188598°		 →
↑
441.89 m
↓
↑
441.89 m
↓
S 43.655950°
W 15.194092°		 ← 441.95 m →
195 301 m²		 S 43.655950°
W 15.188598°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30002 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41618 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.457801818847656 y=0.635047912597656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.457801818847656 × 216)
    floor (0.457801818847656 × 65536)
    floor (30002.5)     		tx = 30002
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.635047912597656 × 216)
    floor (0.635047912597656 × 65536)
    floor (41618.5)     		ty = 41618
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30002 / 41618 ti = "16/30002/41618"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30002/41618.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30002 ÷ 216
    30002 ÷ 65536     		x = 0.457794189453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41618 ÷ 216
    41618 ÷ 65536     		y = 0.635040283203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.457794189453125 × 2 - 1) × π
    -0.08441162109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.26518693
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.635040283203125 × 2 - 1) × π
    -0.27008056640625 × 3.1415926535     		Φ = -0.848483123274994
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.26518693} λ = -0.26518693}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.848483123274994))-π/2
    2×atan(0.428063759682355)-π/2
    2×0.404462814779498-π/2
    0.808925629558995-1.57079632675     		φ = -0.76187070
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.26518693} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.194092°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.76187070 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -43.651976°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30002 KachelY 41618 -0.26518693 -0.76187070 -15.194092 -43.651976
    Oben rechts KachelX + 1 30003 KachelY 41618 -0.26509105 -0.76187070 -15.188598 -43.651976
    Unten links KachelX 30002 KachelY + 1 41619 -0.26518693 -0.76194006 -15.194092 -43.655950
    Unten rechts KachelX + 1 30003 KachelY + 1 41619 -0.26509105 -0.76194006 -15.188598 -43.655950
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.76187070--0.76194006) × R
    6.93600000000183e-05 × 6371000     		dl = 441.892560000117m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.76187070--0.76194006) × R
    6.93600000000183e-05 × 6371000     		dr = 441.892560000117m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.26518693--0.26509105) × cos(-0.76187070) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.723545977857072 × 6371000     		do = 441.979131422006m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.26518693--0.26509105) × cos(-0.76194006) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.723498098560179 × 6371000     		du = 441.949884282637m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.76187070)-sin(-0.76194006))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.723545977857072-0.723498098560179)×R²
    abs(-0.26509105--0.26518693)×4.78792968932051e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.78792968932051e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.78792968932051e-05×40589641000000     		ar = 195300.827882051m²