Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 30002 / 29873
↖ ↑ ↗
← S 81.389295°
E149.611817°		 ← 182.89 m → S 81.389295°
E149.622803°		 →
↑
182.85 m
↓
↑
182.85 m
↓
S 81.390940°
E149.611817°		 ← 182.86 m →
33 439 m²		 S 81.390940°
E149.622803°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30002 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29873 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.915603637695312 y=0.911666870117188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.915603637695312 × 215)
    floor (0.915603637695312 × 32768)
    floor (30002.5)     		tx = 30002
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.911666870117188 × 215)
    floor (0.911666870117188 × 32768)
    floor (29873.5)     		ty = 29873
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 30002 / 29873 ti = "15/30002/29873"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/30002/29873.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30002 ÷ 215
    30002 ÷ 32768     		x = 0.91558837890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29873 ÷ 215
    29873 ÷ 32768     		y = 0.911651611328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.91558837890625 × 2 - 1) × π
    0.8311767578125 × 3.1415926535     		Λ = 2.61121880
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.911651611328125 × 2 - 1) × π
    -0.82330322265625 × 3.1415926535     		Φ = -2.58648335589975
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.61121880} λ = 2.61121880}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.58648335589975))-π/2
    2×atan(0.0752843232893175)-π/2
    2×0.0751425746246794-π/2
    0.150285149249359-1.57079632675     		φ = -1.42051118
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.61121880} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 149.611817°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.42051118 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.389295°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30002 KachelY 29873 2.61121880 -1.42051118 149.611817 -81.389295
    Oben rechts KachelX + 1 30003 KachelY 29873 2.61141054 -1.42051118 149.622803 -81.389295
    Unten links KachelX 30002 KachelY + 1 29874 2.61121880 -1.42053988 149.611817 -81.390940
    Unten rechts KachelX + 1 30003 KachelY + 1 29874 2.61141054 -1.42053988 149.622803 -81.390940
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.42051118--1.42053988) × R
    2.86999999998816e-05 × 6371000     		dl = 182.847699999246m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.42051118--1.42053988) × R
    2.86999999998816e-05 × 6371000     		dr = 182.847699999246m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.61121880-2.61141054) × cos(-1.42051118) × R
    0.000191739999999996 × 0.149720071298229 × 6371000     		do = 182.894376944968m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.61121880-2.61141054) × cos(-1.42053988) × R
    0.000191739999999996 × 0.149691694730747 × 6371000     		du = 182.859712824223m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.42051118)-sin(-1.42053988))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.149720071298229-0.149691694730747)×R²
    abs(2.61141054-2.61121880)×2.83765674817527e-05×R²
    0.000191739999999996×2.83765674817527e-05×6371000²
    0.000191739999999996×2.83765674817527e-05×40589641000000     		ar = 33438.6470423133m²