Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30002 / 20932
↖ ↑ ↗
← N 54.354956°
W 15.194092°		 ← 355.98 m → N 54.354956°
W 15.188598°		 →
↑
355.95 m
↓
↑
355.95 m
↓
N 54.351754°
W 15.194092°		 ← 356.01 m →
126 716 m²		 N 54.351754°
W 15.188598°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30002 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20932 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.457801818847656 y=0.319404602050781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.457801818847656 × 216)
    floor (0.457801818847656 × 65536)
    floor (30002.5)     		tx = 30002
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.319404602050781 × 216)
    floor (0.319404602050781 × 65536)
    floor (20932.5)     		ty = 20932
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30002 / 20932 ti = "16/30002/20932"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30002/20932.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30002 ÷ 216
    30002 ÷ 65536     		x = 0.457794189453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20932 ÷ 216
    20932 ÷ 65536     		y = 0.31939697265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.457794189453125 × 2 - 1) × π
    -0.08441162109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.26518693
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.31939697265625 × 2 - 1) × π
    0.3612060546875 × 3.1415926535     		Φ = 1.13476228780597
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.26518693} λ = -0.26518693}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.13476228780597))-π/2
    2×atan(3.11043406691095)-π/2
    2×1.25973463416717-π/2
    2.51946926833434-1.57079632675     		φ = 0.94867294
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.26518693} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.194092°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.94867294 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 54.354956°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30002 KachelY 20932 -0.26518693 0.94867294 -15.194092 54.354956
    Oben rechts KachelX + 1 30003 KachelY 20932 -0.26509105 0.94867294 -15.188598 54.354956
    Unten links KachelX 30002 KachelY + 1 20933 -0.26518693 0.94861707 -15.194092 54.351754
    Unten rechts KachelX + 1 30003 KachelY + 1 20933 -0.26509105 0.94861707 -15.188598 54.351754
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.94867294-0.94861707) × R
    5.58700000000689e-05 × 6371000     		dl = 355.947770000439m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.94867294-0.94861707) × R
    5.58700000000689e-05 × 6371000     		dr = 355.947770000439m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.26518693--0.26509105) × cos(0.94867294) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.582762028129284 × 6371000     		do = 355.981047370548m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.26518693--0.26509105) × cos(0.94861707) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.582807429576339 × 6371000     		du = 356.008780911675m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.94867294)-sin(0.94861707))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.582762028129284-0.582807429576339)×R²
    abs(-0.26509105--0.26518693)×4.54014470541164e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.54014470541164e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.54014470541164e-05×40589641000000     		ar = 126715.595852942m²