Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 30002 / 20765
↖ ↑ ↗
← N 54.886087°
W 15.194092°		 ← 351.36 m → N 54.886087°
W 15.188598°		 →
↑
351.36 m
↓
↑
351.36 m
↓
N 54.882927°
W 15.194092°		 ← 351.39 m →
123 460 m²		 N 54.882927°
W 15.188598°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30002 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20765 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.457801818847656 y=0.316856384277344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.457801818847656 × 216)
    floor (0.457801818847656 × 65536)
    floor (30002.5)     		tx = 30002
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.316856384277344 × 216)
    floor (0.316856384277344 × 65536)
    floor (20765.5)     		ty = 20765
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30002 / 20765 ti = "16/30002/20765"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30002/20765.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30002 ÷ 216
    30002 ÷ 65536     		x = 0.457794189453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20765 ÷ 216
    20765 ÷ 65536     		y = 0.316848754882812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.457794189453125 × 2 - 1) × π
    -0.08441162109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.26518693
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.316848754882812 × 2 - 1) × π
    0.366302490234375 × 3.1415926535     		Φ = 1.15077321227907
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.26518693} λ = -0.26518693}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.15077321227907))-π/2
    2×atan(3.16063580754481)-π/2
    2×1.26436962781333-π/2
    2.52873925562667-1.57079632675     		φ = 0.95794293
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.26518693} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.194092°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.95794293 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 54.886087°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30002 KachelY 20765 -0.26518693 0.95794293 -15.194092 54.886087
    Oben rechts KachelX + 1 30003 KachelY 20765 -0.26509105 0.95794293 -15.188598 54.886087
    Unten links KachelX 30002 KachelY + 1 20766 -0.26518693 0.95788778 -15.194092 54.882927
    Unten rechts KachelX + 1 30003 KachelY + 1 20766 -0.26509105 0.95788778 -15.188598 54.882927
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.95794293-0.95788778) × R
    5.51500000000038e-05 × 6371000     		dl = 351.360650000024m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.95794293-0.95788778) × R
    5.51500000000038e-05 × 6371000     		dr = 351.360650000024m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.26518693--0.26509105) × cos(0.95794293) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.575203905848322 × 6371000     		do = 351.364157189201m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.26518693--0.26509105) × cos(0.95788778) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.575249018228645 × 6371000     		du = 351.391714153488m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.95794293)-sin(0.95788778))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.575203905848322-0.575249018228645)×R²
    abs(-0.26509105--0.26518693)×4.51123803226761e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.51123803226761e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.51123803226761e-05×40589641000000     		ar = 123460.379904707m²