Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 30001 / 29906
↖ ↑ ↗
← S 81.443407°
E149.600830°		 ← 181.76 m → S 81.443407°
E149.611817°		 →
↑
181.76 m
↓
↑
181.76 m
↓
S 81.445041°
E149.600830°		 ← 181.73 m →
33 035 m²		 S 81.445041°
E149.611817°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30001 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29906 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.915573120117188 y=0.912673950195312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.915573120117188 × 215)
    floor (0.915573120117188 × 32768)
    floor (30001.5)     		tx = 30001
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.912673950195312 × 215)
    floor (0.912673950195312 × 32768)
    floor (29906.5)     		ty = 29906
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 30001 / 29906 ti = "15/30001/29906"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/30001/29906.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30001 ÷ 215
    30001 ÷ 32768     		x = 0.915557861328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29906 ÷ 215
    29906 ÷ 32768     		y = 0.91265869140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.915557861328125 × 2 - 1) × π
    0.83111572265625 × 3.1415926535     		Λ = 2.61102705
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.91265869140625 × 2 - 1) × π
    -0.8253173828125 × 3.1415926535     		Φ = -2.5928110266496
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.61102705} λ = 2.61102705}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.5928110266496))-π/2
    2×atan(0.0748094528751925)-π/2
    2×0.0746703637277224-π/2
    0.149340727455445-1.57079632675     		φ = -1.42145560
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.61102705} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 149.600830°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.42145560 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.443407°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30001 KachelY 29906 2.61102705 -1.42145560 149.600830 -81.443407
    Oben rechts KachelX + 1 30002 KachelY 29906 2.61121880 -1.42145560 149.611817 -81.443407
    Unten links KachelX 30001 KachelY + 1 29907 2.61102705 -1.42148413 149.600830 -81.445041
    Unten rechts KachelX + 1 30002 KachelY + 1 29907 2.61121880 -1.42148413 149.611817 -81.445041
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.42145560--1.42148413) × R
    2.85300000000266e-05 × 6371000     		dl = 181.764630000169m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.42145560--1.42148413) × R
    2.85300000000266e-05 × 6371000     		dr = 181.764630000169m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.61102705-2.61121880) × cos(-1.42145560) × R
    0.000191749999999935 × 0.148786229767176 × 6371000     		do = 181.763098143039m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.61102705-2.61121880) × cos(-1.42148413) × R
    0.000191749999999935 × 0.148758017263112 × 6371000     		du = 181.728632640734m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.42145560)-sin(-1.42148413))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.148786229767176-0.148758017263112)×R²
    abs(2.61121880-2.61102705)×2.82125040635406e-05×R²
    0.000191749999999935×2.82125040635406e-05×6371000²
    0.000191749999999935×2.82125040635406e-05×40589641000000     		ar = 33034.9699784731m²