Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 30001 / 29836
↖ ↑ ↗
← S 81.328221°
E149.600830°		 ← 184.19 m → S 81.328221°
E149.611817°		 →
↑
184.19 m
↓
↑
184.19 m
↓
S 81.329877°
E149.600830°		 ← 184.16 m →
33 922 m²		 S 81.329877°
E149.611817°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30001 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29836 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.915573120117188 y=0.910537719726562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.915573120117188 × 215)
    floor (0.915573120117188 × 32768)
    floor (30001.5)     		tx = 30001
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.910537719726562 × 215)
    floor (0.910537719726562 × 32768)
    floor (29836.5)     		ty = 29836
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 30001 / 29836 ti = "15/30001/29836"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/30001/29836.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30001 ÷ 215
    30001 ÷ 32768     		x = 0.915557861328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29836 ÷ 215
    29836 ÷ 32768     		y = 0.9105224609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.915557861328125 × 2 - 1) × π
    0.83111572265625 × 3.1415926535     		Λ = 2.61102705
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.9105224609375 × 2 - 1) × π
    -0.821044921875 × 3.1415926535     		Φ = -2.57938869475598
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.61102705} λ = 2.61102705}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.57938869475598))-π/2
    2×atan(0.0758203392298995)-π/2
    2×0.0756755482568157-π/2
    0.151351096513631-1.57079632675     		φ = -1.41944523
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.61102705} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 149.600830°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41944523 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.328221°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30001 KachelY 29836 2.61102705 -1.41944523 149.600830 -81.328221
    Oben rechts KachelX + 1 30002 KachelY 29836 2.61121880 -1.41944523 149.611817 -81.328221
    Unten links KachelX 30001 KachelY + 1 29837 2.61102705 -1.41947414 149.600830 -81.329877
    Unten rechts KachelX + 1 30002 KachelY + 1 29837 2.61121880 -1.41947414 149.611817 -81.329877
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41944523--1.41947414) × R
    2.89099999999376e-05 × 6371000     		dl = 184.185609999602m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41944523--1.41947414) × R
    2.89099999999376e-05 × 6371000     		dr = 184.185609999602m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.61102705-2.61121880) × cos(-1.41944523) × R
    0.000191749999999935 × 0.150773921104602 × 6371000     		do = 184.191339897722m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.61102705-2.61121880) × cos(-1.41947414) × R
    0.000191749999999935 × 0.150745341532909 × 6371000     		du = 184.156425971194m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41944523)-sin(-1.41947414))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.150773921104602-0.150745341532909)×R²
    abs(2.61121880-2.61102705)×2.85795716930548e-05×R²
    0.000191749999999935×2.85795716930548e-05×6371000²
    0.000191749999999935×2.85795716930548e-05×40589641000000     		ar = 33922.1789765786m²