Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 30001 / 20758
↖ ↑ ↗
← N 54.908198°
W 15.199585°		 ← 351.13 m → N 54.908198°
W 15.194092°		 →
↑
351.17 m
↓
↑
351.17 m
↓
N 54.905040°
W 15.199585°		 ← 351.16 m →
123 313 m²		 N 54.905040°
W 15.194092°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30001 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20758 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.457786560058594 y=0.316749572753906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.457786560058594 × 216)
    floor (0.457786560058594 × 65536)
    floor (30001.5)     		tx = 30001
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.316749572753906 × 216)
    floor (0.316749572753906 × 65536)
    floor (20758.5)     		ty = 20758
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 30001 / 20758 ti = "16/30001/20758"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/30001/20758.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30001 ÷ 216
    30001 ÷ 65536     		x = 0.457778930664062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20758 ÷ 216
    20758 ÷ 65536     		y = 0.316741943359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.457778930664062 × 2 - 1) × π
    -0.084442138671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.26528280
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.316741943359375 × 2 - 1) × π
    0.36651611328125 × 3.1415926535     		Φ = 1.15144432887375
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.26528280} λ = -0.26528280}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.15144432887375))-π/2
    2×atan(3.16275767461545)-π/2
    2×1.26456258928128-π/2
    2.52912517856256-1.57079632675     		φ = 0.95832885
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.26528280} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -15.199585°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.95832885 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 54.908198°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30001 KachelY 20758 -0.26528280 0.95832885 -15.199585 54.908198
    Oben rechts KachelX + 1 30002 KachelY 20758 -0.26518693 0.95832885 -15.194092 54.908198
    Unten links KachelX 30001 KachelY + 1 20759 -0.26528280 0.95827373 -15.199585 54.905040
    Unten rechts KachelX + 1 30002 KachelY + 1 20759 -0.26518693 0.95827373 -15.194092 54.905040
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.95832885-0.95827373) × R
    5.51199999999641e-05 × 6371000     		dl = 351.169519999771m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.95832885-0.95827373) × R
    5.51199999999641e-05 × 6371000     		dr = 351.169519999771m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.26528280--0.26518693) × cos(0.95832885) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.574888176578033 × 6371000     		do = 351.134667371456m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.26528280--0.26518693) × cos(0.95827373) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.574933276651813 × 6371000     		du = 351.162213944946m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.95832885)-sin(0.95827373))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.574888176578033-0.574933276651813)×R²
    abs(-0.26518693--0.26528280)×4.51000737797802e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.51000737797802e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.51000737797802e-05×40589641000000     		ar = 123312.629385723m²