Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 30000 / 29551
↖ ↑ ↗
← S 80.843153°
E149.589844°		 ← 194.41 m → S 80.843153°
E149.600830°		 →
↑
194.38 m
↓
↑
194.38 m
↓
S 80.844901°
E149.589844°		 ← 194.37 m →
37 785 m²		 S 80.844901°
E149.600830°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30000 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29551 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.915542602539062 y=0.901840209960938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.915542602539062 × 215)
    floor (0.915542602539062 × 32768)
    floor (30000.5)     		tx = 30000
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.901840209960938 × 215)
    floor (0.901840209960938 × 32768)
    floor (29551.5)     		ty = 29551
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 30000 / 29551 ti = "15/30000/29551"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/30000/29551.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30000 ÷ 215
    30000 ÷ 32768     		x = 0.91552734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29551 ÷ 215
    29551 ÷ 32768     		y = 0.901824951171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.91552734375 × 2 - 1) × π
    0.8310546875 × 3.1415926535     		Λ = 2.61083530
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.901824951171875 × 2 - 1) × π
    -0.80364990234375 × 3.1415926535     		Φ = -2.52474062918912
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.61083530} λ = 2.61083530}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.52474062918912))-π/2
    2×atan(0.0800790802693489)-π/2
    2×0.0799085625922807-π/2
    0.159817125184561-1.57079632675     		φ = -1.41097920
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.61083530} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 149.589844°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41097920 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.843153°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30000 KachelY 29551 2.61083530 -1.41097920 149.589844 -80.843153
    Oben rechts KachelX + 1 30001 KachelY 29551 2.61102705 -1.41097920 149.600830 -80.843153
    Unten links KachelX 30000 KachelY + 1 29552 2.61083530 -1.41100971 149.589844 -80.844901
    Unten rechts KachelX + 1 30001 KachelY + 1 29552 2.61102705 -1.41100971 149.600830 -80.844901
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41097920--1.41100971) × R
    3.05099999999836e-05 × 6371000     		dl = 194.379209999896m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41097920--1.41100971) × R
    3.05099999999836e-05 × 6371000     		dr = 194.379209999896m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.61083530-2.61102705) × cos(-1.41097920) × R
    0.000191749999999935 × 0.159137666533767 × 6371000     		do = 194.408819590996m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.61083530-2.61102705) × cos(-1.41100971) × R
    0.000191749999999935 × 0.159107545266883 × 6371000     		du = 194.37202226911m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41097920)-sin(-1.41100971))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.159137666533767-0.159107545266883)×R²
    abs(2.61102705-2.61083530)×3.01212668847028e-05×R²
    0.000191749999999935×3.01212668847028e-05×6371000²
    0.000191749999999935×3.01212668847028e-05×40589641000000     		ar = 37785.4564552802m²