Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 30000 / 24272
↖ ↑ ↗
← N 74.247812°
W 97.602539°		 ← 82.90 m → N 74.247812°
W 97.599793°		 →
↑
82.89 m
↓
↑
82.89 m
↓
N 74.247067°
W 97.602539°		 ← 82.90 m →
6 871 m²		 N 74.247067°
W 97.599793°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 30000 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 24272 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.228885650634766 y=0.185184478759766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.228885650634766 × 217)
    floor (0.228885650634766 × 131072)
    floor (30000.5)     		tx = 30000
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.185184478759766 × 217)
    floor (0.185184478759766 × 131072)
    floor (24272.5)     		ty = 24272
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 30000 / 24272 ti = "17/30000/24272"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/30000/24272.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 30000 ÷ 217
    30000 ÷ 131072     		x = 0.2288818359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 24272 ÷ 217
    24272 ÷ 131072     		y = 0.1851806640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.2288818359375 × 2 - 1) × π
    -0.542236328125 × 3.1415926535     		Λ = -1.70348566
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1851806640625 × 2 - 1) × π
    0.629638671875 × 3.1415926535     		Φ = 1.978068225922
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.70348566} λ = -1.70348566}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.978068225922))-π/2
    2×atan(7.22876514736782)-π/2
    2×1.43333255972888-π/2
    2.86666511945776-1.57079632675     		φ = 1.29586879
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.70348566} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -97.602539°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.29586879 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 74.247812°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 30000 KachelY 24272 -1.70348566 1.29586879 -97.602539 74.247812
    Oben rechts KachelX + 1 30001 KachelY 24272 -1.70343773 1.29586879 -97.599793 74.247812
    Unten links KachelX 30000 KachelY + 1 24273 -1.70348566 1.29585578 -97.602539 74.247067
    Unten rechts KachelX + 1 30001 KachelY + 1 24273 -1.70343773 1.29585578 -97.599793 74.247067
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.29586879-1.29585578) × R
    1.3010000000202e-05 × 6371000     		dl = 82.8867100012871m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.29586879-1.29585578) × R
    1.3010000000202e-05 × 6371000     		dr = 82.8867100012871m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.70348566--1.70343773) × cos(1.29586879) × R
    4.79299999998073e-05 × 0.271477195828746 × 6371000     		do = 82.8988276166402m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.70348566--1.70343773) × cos(1.29585578) × R
    4.79299999998073e-05 × 0.271489717213559 × 6371000     		du = 82.902651172125m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.29586879)-sin(1.29585578))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.271477195828746-0.271489717213559)×R²
    abs(-1.70343773--1.70348566)×1.25213848128358e-05×R²
    4.79299999998073e-05×1.25213848128358e-05×6371000²
    4.79299999998073e-05×1.25213848128358e-05×40589641000000     		ar = 6871.36954515214m²